Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2020

Sea la función $f(x) = \left(1+\sin\dfrac{\pi x}{2}\right)^x$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[1,2]$. [0,75 puntos]

b) Demuestre que existe $\alpha \in (1,2)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Enuncie los resultados teóricos empleados y justifique su uso. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que la función es continua en el intervalo } \boldsymbol{[1,2]}\textbf{.}$

Es una potencia de base y exponente variables, continua allí donde la base es positiva y las dos funciones son continuas.

Cuando $x$ recorre $[1,2]$, el ángulo $\frac{\pi x}{2}$ recorre $\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$, donde el seno va de 1 a 0 sin hacerse negativo. La base cumple, pues,

$1\leq1+\sin\dfrac{\pi x}{2}\leq2$

y en particular es siempre positiva. El exponente, $x$, es continuo. Por tanto $f$ es continua en $[1,2]$, y por lo mismo derivable en $(1,2)$.

$\textbf{b) Demuestre que existe } \boldsymbol{\alpha\in(1,2)}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f'(\alpha)=0}\textbf{. Enuncie los resultados teóricos empleados y justifique su uso.}$

Aquí no sirve el teorema de Rolle, porque los valores en los extremos no coinciden:

$f(1)=\left(1+\sin\dfrac{\pi}{2}\right)^{1}=2^{1}=2 \qquad f(2)=\left(1+\sin\pi\right)^{2}=1^{2}=1$

Se usan, en cambio, dos resultados encadenados.

i) El teorema de Weierstrass: una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en él su máximo y su mínimo absolutos. Como $f$ es continua en $[1,2]$, existe un punto donde alcanza el máximo absoluto.

ii) Ese máximo no puede estar en los extremos, porque en el punto medio la función vale más:

$f\left(\dfrac32\right)=\left(1+\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)^{3/2}=\left(1+\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^{3/2}\approx2{,}2305>2=f(1)>1=f(2)$

Luego el máximo absoluto se alcanza en un punto interior $\alpha\in(1,2)$.

iii) El teorema del extremo interior —o condición necesaria de extremo relativo—: si una función derivable alcanza un extremo en un punto interior de su dominio, la derivada se anula en él. Como $f$ es derivable en $(1,2)$, resulta

$f'(\alpha)=0$

Existe, pues, al menos un punto $\alpha\in(1,2)$ en el que la derivada se anula.