Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule los siguientes límites:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \left(2+\sin\dfrac{3\pi x}{2}\right)^{\frac{1}{x^2-x}}$ [1,25 puntos]

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^4-x^2+1}-\sqrt{x^4-7}\right)$ [1,25 puntos]

$\textbf{Primer límite: } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to1}\left(2+\sin\frac{3\pi x}{2}\right)^{\frac{1}{x^2-x}}}$

En $x=1$ la base vale $2+\sin\frac{3\pi}{2}=2-1=1$ y el exponente tiende a infinito, porque $x^2-x\to0$: es una indeterminación $1^{\infty}$. Aplicamos la regla

$\displaystyle\lim f(x)^{g(x)}=e^{\lim g(x)\left[f(x)-1\right]}$

$\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{1+\sin\frac{3\pi x}{2}}{x^2-x}=\left(\dfrac00\right)\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to1}\dfrac{\frac{3\pi}{2}\cos\frac{3\pi x}{2}}{2x-1}=\dfrac{\frac{3\pi}{2}\cos\frac{3\pi}{2}}{1}=0$

porque $\cos\frac{3\pi}{2}=0$. Por tanto,

$\displaystyle\lim_{x\to1}\left(2+\sin\dfrac{3\pi x}{2}\right)^{\frac{1}{x^2-x}}=e^{0}=1$

$\textbf{Segundo límite: } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^4-x^2+1}-\sqrt{x^4-7}\right)}$

Es una indeterminación $\infty-\infty$; multiplicamos y dividimos por el conjugado:

$\sqrt{x^4-x^2+1}-\sqrt{x^4-7}=\dfrac{\left(x^4-x^2+1\right)-\left(x^4-7\right)}{\sqrt{x^4-x^2+1}+\sqrt{x^4-7}}=\dfrac{-x^2+8}{\sqrt{x^4-x^2+1}+\sqrt{x^4-7}}$

El numerador es de grado 2 y el denominador, suma de dos raíces de polinomios de grado 4, también se comporta como $x^2$:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-x^2+8}{\sqrt{x^4-x^2+1}+\sqrt{x^4-7}}=\dfrac{-1}{1+1}=-\dfrac12$

Los límites pedidos valen $1$ y $-\dfrac12$.