Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Calcule la ecuación continua de una recta $r$ sabiendo que corta a la recta $s \equiv \begin{cases} 3x+y-z-7=0 \\ x+y-5=0 \end{cases}$, es paralela al plano de ecuación $\pi \equiv 2x-y+3z-6=0$ y pasa por el punto $P \equiv (-1,3,1)$. [2,5 puntos]

La recta buscada pasa por $P$ y es paralela a $\pi$, luego está contenida en el plano $\sigma$ que pasa por $P$ y es paralelo a $\pi$; y como corta a $s$, lo hace justo donde $s$ atraviesa ese plano.

i) Plano $\sigma$. Comparte la normal de $\pi$, $\vec n=(2,-1,3)$, y pasa por $P(-1,3,1)$:

$\sigma:\ 2(x+1)-(y-3)+3(z-1)=0 \Rightarrow \sigma:\ 2x-y+3z+2=0$

Conviene comprobar que $P$ no está en $\pi$, para que la recta sea paralela y no esté contenida en él:

$2(-1)-3+3(1)-6=-8\neq0 \Rightarrow P\notin\pi$



ii) Escribimos $s$ en paramétricas. Su director es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen:

$\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 3 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 0\end{vmatrix}=(1,-1,2)$

y un punto se obtiene con $z=0$:

$\begin{cases} 3x+y-7=0 \\ x+y-5=0 \end{cases} \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1,\ y=4$

$s\equiv\left(1+\lambda,\ 4-\lambda,\ 2\lambda\right)$

iii) Cortamos $s$ con $\sigma$:

$2(1+\lambda)-(4-\lambda)+3(2\lambda)+2=0 \Rightarrow 2+2\lambda-4+\lambda+6\lambda+2=0 \Rightarrow 9\lambda=0 \Rightarrow \lambda=0$

$\lambda=0 \Rightarrow Q(1,4,0)$

iv) La recta es la que une $P$ con $Q$:

$\vec v_r=\overrightarrow{PQ}=(1,4,0)-(-1,3,1)=(2,1,-1)$

Comprobamos el paralelismo con $\pi$:

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec n=(2)(2)+(1)(-1)+(-1)(3)=4-1-3=0$

$r\equiv\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$

La recta pedida es $r\equiv\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$, que corta a $s$ en $Q(1,4,0)$ y es paralela al plano $\pi$.