Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que es compatible:

$\begin{cases} (a+1)x + (a^2+a)y = 2 \\ (-a-1)x - a^2y = 0 \\ ay + (a^2-1)z = 3-a \end{cases}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\begin{pmatrix} a+1 & a^2+a & 0 \\ -a-1 & -a^2 & 0 \\ 0 & a & a^2-1\end{pmatrix}$

La tercera columna tiene dos ceros, así que desarrollamos por ella:

$|M|=\left(a^2-1\right)\begin{vmatrix} a+1 & a^2+a \\ -a-1 & -a^2\end{vmatrix}=\left(a^2-1\right)\left[-a^2(a+1)+a(a+1)^2\right]$

$|M|=\left(a^2-1\right)(a+1)\left[-a^2+a(a+1)\right]=\left(a^2-1\right)(a+1)\,a=a(a-1)(a+1)^2$

$|M|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=1 \\ a=-1 \end{cases}$

Si $a\neq0,\ 1,\ -1$, entonces $|M|\neq0$ y $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{nº de incógnitas}$: el sistema es compatible determinado, con solución

$x=-\dfrac{2a}{a+1},\qquad y=\dfrac2a,\qquad z=-\dfrac{1}{a+1}$

Si $a=0$, el sistema queda

$\begin{cases} x=2 \\ -x=0 \\ -z=3 \end{cases}$

Las dos primeras ecuaciones se contradicen, luego el sistema es incompatible.

Si $a=-1$, se anulan todos los coeficientes de la primera ecuación:

$\begin{cases} 0=2 \\ -y=0 \\ -y=4 \end{cases}$

De nuevo es imposible: el sistema es incompatible.

Si $a=1$, se anula el coeficiente de $z$ y el sistema es

$\begin{cases} 2x+2y=2 \\ -2x-y=0 \\ y=2 \end{cases}$

De la tercera, $y=2$; de la segunda, $x=-1$; y la primera se cumple, porque $-2+4=2$. La incógnita $z$ ha desaparecido y queda libre. Como $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$, el sistema es compatible indeterminado:

$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \\ z=\lambda \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\neq0,\ 1,\ -1$, incompatible para $a=0$ y para $a=-1$, y compatible indeterminado con un grado de libertad para $a=1$.