Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Teniendo en cuenta los datos que aparecen en el siguiente gráfico, calcule el área de la región sombreada:

[2,5 puntos]

Del gráfico leemos los datos que faltan. La parábola $f(x)=-x^2-4x$ corta al eje $OX$ donde

$-x^2-4x=0 \Rightarrow -x(x+4)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=-4 \end{cases}$

y su vértice está en $x=-2$, con $f(-2)=-4+8=4$.

La recta pasa por el corte izquierdo de la parábola con el eje, $(-4,0)$, y por el punto de la parábola de ordenada 3, que es el que marca la línea de puntos. Ese punto se obtiene igualando:

$-x^2-4x=3 \Rightarrow x^2+4x+3=0 \Rightarrow \begin{cases} x=-1 \\ x=-3 \end{cases}$

De los dos, el que aparece en el gráfico —a la derecha del vértice— es $x=-1$, es decir, el punto $(-1,3)$.

Con esos dos puntos, la pendiente de la recta es

$m=\dfrac{3-0}{-1-(-4)}=\dfrac33=1 \Rightarrow g(x)-0=1\cdot(x+4) \Rightarrow g(x)=x+4$

Comprobamos que efectivamente los dos únicos cortes de la recta con la parábola son los extremos del recinto:

$-x^2-4x=x+4 \Rightarrow x^2+5x+4=0 \Rightarrow \begin{cases} x=-4 \\ x=-1 \end{cases}$

Entre esas dos abscisas la parábola va por encima de la recta, como se ve en la figura y se confirma en el punto medio:

$x=-2:\quad f(-2)=4 \qquad g(-2)=2$

El área es la integral de la diferencia:

$A=\displaystyle\int_{-4}^{-1}\left[\left(-x^2-4x\right)-\left(x+4\right)\right]dx=\int_{-4}^{-1}\left(-x^2-5x-4\right)dx$

$A=\left[-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{5x^2}{2}-4x\right]_{-4}^{-1}$

$A=\left(\dfrac13-\dfrac52+4\right)-\left(\dfrac{64}{3}-40+16\right)=\dfrac{11}{6}-\left(-\dfrac83\right)=\dfrac{11}{6}+\dfrac{16}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac92$

El mismo valor se obtiene con la fórmula del área entre una parábola y una recta secante, $\dfrac{|a|\left(x_2-x_1\right)^3}{6}=\dfrac{1\cdot3^3}{6}=\dfrac{27}{6}$.

El área de la región sombreada es de $\dfrac92=4{,}5$ unidades cuadradas.