Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2021

Se considera la función $f(x) = \sqrt{x + \sin\dfrac{\pi x}{2}}$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[1,3]$. [0,75 puntos]

b) Demuestre que existen dos valores $\alpha \in (1,2)$ y $\beta \in (2,3)$ tales que $f'(\alpha) = f'(\beta) = 0$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que la función es continua en el intervalo } \boldsymbol{[1,3]}\textbf{.}$

La raíz cuadrada es continua donde su radicando es no negativo, así que estudiamos

$g(x)=x+\sin\dfrac{\pi x}{2}$

Como el seno nunca baja de $-1$,

$g(x)=x+\sin\dfrac{\pi x}{2}\geq x-1$

y para $x>1$ el segundo miembro es positivo. En el extremo izquierdo se comprueba directamente:

$g(1)=1+\sin\dfrac{\pi}{2}=1+1=2>0$

de modo que el radicando es positivo en todo $[1,3]$ y $f$ es continua allí. Por el mismo motivo es derivable en $(1,3)$, con

$f'(x)=\dfrac{1+\dfrac{\pi}{2}\cos\dfrac{\pi x}{2}}{2\sqrt{x+\sin\dfrac{\pi x}{2}}}$

$\textbf{b) Demuestre que existen dos valores } \boldsymbol{\alpha\in(1,2)}\textbf{ y } \boldsymbol{\beta\in(2,3)}\textbf{ tales que } \boldsymbol{f'(\alpha)=f'(\beta)=0}\textbf{. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso.}$

El resultado que se aplica es el teorema de Rolle: si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$, existe algún punto interior en el que la derivada se anula.

Calculamos la función en los tres puntos que separan los dos subintervalos:

$f(1)=\sqrt{1+\sin\dfrac{\pi}{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt2$

$f(2)=\sqrt{2+\sin\pi}=\sqrt{2+0}=\sqrt2$

$f(3)=\sqrt{3+\sin\dfrac{3\pi}{2}}=\sqrt{3-1}=\sqrt2$

Los tres valores coinciden, así que aplicamos el teorema dos veces:

i) En $[1,2]$ la función es continua, derivable en $(1,2)$ y $f(1)=f(2)=\sqrt2$, luego existe $\alpha\in(1,2)$ con $f'(\alpha)=0$.

ii) En $[2,3]$ se cumplen las mismas hipótesis y $f(2)=f(3)=\sqrt2$, luego existe $\beta\in(2,3)$ con $f'(\beta)=0$.

Los dos puntos son distintos, porque pertenecen a intervalos que solo comparten $x=2$, donde la derivada no se anula:

$f'(2)=\dfrac{1+\frac{\pi}{2}\cos\pi}{2\sqrt2}=\dfrac{1-\frac{\pi}{2}}{2\sqrt2}\neq0$

Existen, pues, los dos valores pedidos.