Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Se considera la función $f(x) = \log_2\left[\sin\dfrac{\pi(x+1)}{4} + 2^{\frac{x-5}{2}}\right]$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[6,7]$. [1 punto]

b) Demuestre que existe un valor $\alpha \in (6,7)$ tal que $f(\alpha) = 0$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que la función es continua en el intervalo } \boldsymbol{[6,7]}\textbf{.}$

El logaritmo en base 2 es continuo donde su argumento es positivo, así que estudiamos

$g(x)=\sin\dfrac{\pi(x+1)}{4}+2^{\frac{x-5}{2}}$

Cuando $x$ recorre $[6,7]$, el ángulo $\dfrac{\pi(x+1)}{4}$ recorre $\left[\dfrac{7\pi}{4},2\pi\right]$, el último cuadrante, donde el seno es creciente y va de $-\dfrac{\sqrt2}{2}$ a $0$. La exponencial $2^{\frac{x-5}{2}}$ también es creciente, de $\sqrt2$ a $2$.

Al ser suma de dos funciones crecientes, $g$ es creciente en $[6,7]$ y su valor mínimo se alcanza en el extremo izquierdo:

$g(6)=\sin\dfrac{7\pi}{4}+2^{\frac12}=-\dfrac{\sqrt2}{2}+\sqrt2=\dfrac{\sqrt2}{2}>0$

El argumento es positivo en todo el intervalo, luego $f$ es continua en $[6,7]$ por ser composición de funciones continuas.

$\textbf{b) Demuestre que existe un valor } \boldsymbol{\alpha\in(6,7)}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f(\alpha)=0}\textbf{. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso.}$

El resultado que se aplica es el teorema de Bolzano: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos, existe algún $\alpha\in(a,b)$ con $f(\alpha)=0$. La continuidad ya está probada.

$f(6)=\log_2\dfrac{\sqrt2}{2}=\log_2 2^{-\frac12}=-\dfrac12<0$

$f(7)=\log_2\left(\sin2\pi+2^{1}\right)=\log_2(0+2)=\log_2 2=1>0$

Los signos son opuestos, luego existe $\alpha\in(6,7)$ tal que $f(\alpha)=0$, es decir, un punto en el que el argumento del logaritmo vale exactamente 1.