Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule los siguientes límites:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{3x^3+2x^2}-\sqrt{3x^3}}$ [1,25 puntos]

$\displaystyle\lim_{x \to \infty} x \cdot \sin\dfrac{1}{x}$ [1,25 puntos]

$\textbf{Primer límite: } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt x}{\sqrt{3x^3+2x^2}-\sqrt{3x^3}}}$

El denominador es una diferencia de raíces que tiende a $\infty-\infty$, así que multiplicamos y dividimos por el conjugado:

$\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{3x^3+2x^2}-\sqrt{3x^3}}=\dfrac{\sqrt x\left(\sqrt{3x^3+2x^2}+\sqrt{3x^3}\right)}{\left(3x^3+2x^2\right)-3x^3}=\dfrac{\sqrt x\left(\sqrt{3x^3+2x^2}+\sqrt{3x^3}\right)}{2x^2}$

Metemos $\sqrt x$ dentro de cada raíz:

$=\dfrac{\sqrt{3x^4+2x^3}+\sqrt{3x^4}}{2x^2}$

Ahora numerador y denominador son del mismo orden, $x^2$, y el límite es el cociente de los coeficientes:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{3x^4+2x^3}+\sqrt{3x^4}}{2x^2}=\dfrac{\sqrt3+\sqrt3}{2}=\sqrt3\approx1{,}7321$

$\textbf{Segundo límite: } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\cdot\sin\frac1x}$

Es una indeterminación $\infty\cdot0$. Con el cambio $u=\frac1x$, que tiende a 0 cuando $x$ tiende a infinito,

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\dfrac1x=\lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1$

por el límite fundamental del seno. Los límites pedidos valen $\sqrt3$ y $1$.