Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Halle un plano que sea tangente a la esfera de radio 3 y centro $(0,0,0)$, y que corte perpendicularmente a la recta

$r \equiv \dfrac{x-3}{2} = \dfrac{y-4}{1} = \dfrac{z+4}{-2}$

Encuentre el punto de tangencia del plano con la esfera, y calcule la ecuación continua de la recta que pasa por ese punto y corta perpendicularmente a $r$. [2,5 puntos]

De la recta leemos un punto y un director:

$r:\ \{R(3,4,-4),\ \vec v_r=(2,1,-2)\} \qquad \left|\vec v_r\right|=\sqrt{4+1+4}=3$



i) El plano ha de cortar perpendicularmente a $r$, luego el director de la recta es su vector normal:

$\pi:\ 2x+y-2z+D=0$

ii) La tangencia a la esfera significa que la distancia del centro al plano es igual al radio. Con $O(0,0,0)$ y $R=3$,

$d(O,\pi)=\dfrac{|D|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{|D|}{3}=3 \Rightarrow |D|=9 \Rightarrow \begin{cases} D=9 \\ D=-9 \end{cases}$

Hay dos planos tangentes, uno a cada lado de la esfera. Tomamos, por ejemplo,

$\pi:\ 2x+y-2z-9=0$

iii) El punto de tangencia es el pie de la perpendicular al plano por el centro, es decir, el punto de la esfera que está sobre la recta que pasa por $O$ con dirección $\vec n=(2,1,-2)$:

$X(2k,\,k,\,-2k) \Rightarrow 2(2k)+k-2(-2k)-9=0 \Rightarrow 9k=9 \Rightarrow k=1$

$T(2,1,-2)$

Se comprueba que está en la esfera: $|OT|=\sqrt{4+1+4}=3$.

iv) Por último, la recta que pasa por $T$ y corta perpendicularmente a $r$. Como $\pi$ es perpendicular a $r$, toda recta contenida en $\pi$ es ya perpendicular a $r$; basta, pues, unir $T$ con el punto en que $r$ atraviesa el plano.

$2(3+2k)+(4+k)-2(-4-2k)-9=0 \Rightarrow 6+4k+4+k+8+4k-9=0 \Rightarrow 9k+9=0 \Rightarrow k=-1$

$k=-1 \Rightarrow P(1,3,-2)$

$\vec v_t=\overrightarrow{TP}=(1,3,-2)-(2,1,-2)=(-1,2,0)\ \parallel\ (1,-2,0)$

Comprobamos la perpendicularidad: $\overrightarrow{TP}\cdot\vec v_r=-2+2+0=0$.

$t\equiv\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z+2}{0}$

o, escrita sin denominadores nulos, $t\equiv\left\{z=-2,\ \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-2}\right\}$.

Un plano tangente que corta perpendicularmente a $r$ es $\pi:\ 2x+y-2z-9=0$; el punto de tangencia es $T(2,1,-2)$, y la recta pedida, $t\equiv\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z+2}{0}$, que corta a $r$ en $P(1,3,-2)$. (El otro plano tangente, $2x+y-2z+9=0$, da la solución simétrica respecto del origen.)