Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Calcule la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a las siguientes rectas:

$r \equiv \begin{cases} 2y+z=0 \\ x+y=0 \end{cases}$ y $s \equiv \dfrac{x-6}{-1} = \dfrac{y-6}{5} = \dfrac{z-2}{2}$ [2,5 puntos]

Escribimos $r$ en paramétricas. De la segunda ecuación, $x=-y$, y de la primera, $z=-2y$. Tomando $y=-\lambda$,

$r\equiv\begin{cases} x=\lambda \\ y=-\lambda \\ z=2\lambda \end{cases} \Rightarrow R(0,0,0),\ \vec v_r=(1,-1,2)$

De $s$ leemos $S(6,6,2)$ y $\vec v_s=(-1,5,2)$.

Las dos rectas se cruzan, porque los directores no son proporcionales y el producto mixto no se anula:

$\left[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{RS}\right]=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 5 & 2 \\ 6 & 6 & 2\end{vmatrix}=88\neq0$



i) El director de la perpendicular común es el producto vectorial de los dos:

$\vec v_t=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & -1 & 2\\ -1 & 5 & 2\end{vmatrix}=(-12,-4,4)\ \parallel\ (3,1,-1)$

ii) Buscamos los pies. Con los puntos genéricos

$P(\lambda,-\lambda,2\lambda)\in r \qquad Q(6-\mu,\,6+5\mu,\,2+2\mu)\in s$

$\overrightarrow{PQ}=(6-\mu-\lambda,\ 6+5\mu+\lambda,\ 2+2\mu-2\lambda)$

imponemos que sea perpendicular a los dos directores:

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_r=(6-\mu-\lambda)-(6+5\mu+\lambda)+2(2+2\mu-2\lambda)=4-2\mu-6\lambda=0$

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_s=-(6-\mu-\lambda)+5(6+5\mu+\lambda)+2(2+2\mu-2\lambda)=28+30\mu+2\lambda=0$

$\begin{cases} 3\lambda+\mu=2 \\ \lambda+15\mu=-14 \end{cases}$

De la primera, $\mu=2-3\lambda$; sustituyendo en la segunda, $\lambda+30-45\lambda=-14 \Rightarrow -44\lambda=-44 \Rightarrow \lambda=1$, y por tanto $\mu=-1$.

iii) Sustituyendo cada parámetro en su recta:

$\lambda=1 \Rightarrow P(1,-1,2) \qquad \mu=-1 \Rightarrow Q(7,1,0)$

$\overrightarrow{PQ}=(6,2,-2)\ \parallel\ (3,1,-1)$, que es efectivamente proporcional al director hallado, y se comprueba la perpendicularidad:

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_r=6-2-4=0 \qquad \overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_s=-6+10-4=0$

Escribimos la recta por $P$ con el director hallado:

$t\equiv\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$

La recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s$ es $t\equiv\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$, y las corta en $P(1,-1,2)$ y $Q(7,1,0)$; la distancia entre las dos rectas es $\left|\overrightarrow{PQ}\right|=2\sqrt{11}$ unidades.