Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que es compatible:

$\begin{cases} ax + (a-2)y = a-2 \\ ax + (a^2-2a)y + 2z = a \\ 3ax + (a^2-4)y + z = 4a-4 \end{cases}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\begin{pmatrix} a & a-2 & 0 \\ a & a^2-2a & 2 \\ 3a & a^2-4 & 1\end{pmatrix}$

Sacamos $a$ como factor común de la primera columna y restamos después la primera fila a la segunda:

$|M|=a\begin{vmatrix} 1 & a-2 & 0 \\ 1 & a^2-2a & 2 \\ 3 & a^2-4 & 1\end{vmatrix}=a\begin{vmatrix} 1 & a-2 & 0 \\ 0 & a^2-3a+2 & 2 \\ 0 & a^2-3a+2 & 1\end{vmatrix}$

—en la tercera fila se ha restado el triple de la primera: $(a^2-4)-3(a-2)=a^2-3a+2$—. Desarrollando por la primera columna,

$|M|=a\begin{vmatrix} a^2-3a+2 & 2 \\ a^2-3a+2 & 1\end{vmatrix}=a\left(a^2-3a+2\right)(1-2)=-a\left(a^2-3a+2\right)$

$|M|=-a(a-1)(a-2)$

$|M|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=1 \\ a=2 \end{cases}$

Si $a\neq0,\ 1,\ 2$, entonces $|M|\neq0$ y $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{nº de incógnitas}$: el sistema es compatible determinado, con solución

$x=\dfrac{a-5}{a-1},\qquad y=\dfrac{2(a+1)}{(a-1)(a-2)},\qquad z=-a$

Si $a=0$, desaparece la incógnita $x$ y el sistema queda

$\begin{cases} -2y=-2 \\ 2z=0 \\ -4y+z=-4 \end{cases}$

De la primera, $y=1$; de la segunda, $z=0$; y la tercera se cumple, porque $-4+0=-4$. Como $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$, el sistema es compatible indeterminado:

$\begin{cases} x=\lambda \\ y=1 \\ z=0 \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Si $a=1$, el sistema es

$\begin{cases} x-y=-1 \\ x-y+2z=1 \\ 3x-3y+z=0 \end{cases}$

De la primera y la segunda, $2z=2 \Rightarrow z=1$; llevándolo a la tercera, $3(x-y)=-1 \Rightarrow x-y=-\frac13$, en contradicción con la primera, que dice $x-y=-1$. El sistema es incompatible.

Si $a=2$, se anula el coeficiente de $y$ en las tres ecuaciones:

$\begin{cases} 2x=0 \\ 2x+2z=2 \\ 6x+z=4 \end{cases}$

De la primera, $x=0$; de la segunda, $z=1$; y la tercera exige $1=4$. El sistema es incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\neq0,\ 1,\ 2$, compatible indeterminado con un grado de libertad para $a=0$, e incompatible para $a=1$ y para $a=2$.