Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Calcule los valores de las abscisas $a$ y $b$ que aparecen en el gráfico, y, después, compruebe que las áreas de las dos regiones sombreadas son iguales:

Las dos abscisas se leen en el gráfico: $a$ es el punto en que se cortan las dos curvas y $b$, aquel en que la logarítmica alcanza la altura 2, marcada con la línea de puntos.

Para $a$ igualamos las dos funciones:

$\dfrac{e}{x}=\ln x$

La ecuación no es algebraica, pero el valor salta a la vista al probar $x=e$:

$\dfrac{e}{e}=1 \qquad \ln e=1$

Los dos miembros valen 1, así que $a=e$ y el punto de corte está a la altura 1, tal como muestra la figura. Además la solución es única, porque $\frac{e}{x}$ es decreciente y $\ln x$ creciente en $(0,+\infty)$.

Para $b$ imponemos que el logaritmo valga 2:

$\ln x=2 \Rightarrow x=e^2$

luego $b=e^2$.

Calculamos ahora las dos áreas. La región superior está limitada por arriba por $g(x)=\ln x$ y por abajo por la recta $y=1$, entre $a$ y $b$. Integrando por partes se obtiene la primitiva del logaritmo:

$\displaystyle\int\ln x\,dx=x\ln x-x$

$A_1=\displaystyle\int_{e}^{e^2}\left(\ln x-1\right)dx=\left[x\ln x-x-x\right]_{e}^{e^2}=\left[x\ln x-2x\right]_{e}^{e^2}$

$A_1=\left(2e^2-2e^2\right)-\left(e-2e\right)=0-(-e)=e$

La región inferior es la que queda bajo la curva $f(x)=\frac{e}{x}$ y sobre el eje $OX$, entre los mismos límites:

$A_2=\displaystyle\int_{e}^{e^2}\dfrac{e}{x}\,dx=e\left[\ln x\right]_{e}^{e^2}=e\left(2-1\right)=e$

Las abscisas pedidas son $a=e$ y $b=e^2$, y las dos regiones sombreadas tienen la misma área, $e\approx2{,}718$ unidades cuadradas, como se quería comprobar.