Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2021

Sea la función $f(x) = \ln\left(\dfrac{5x-2-x\sin\frac{\pi x}{2}}{x^2-4x+6}\right)$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[1,3]$. [1 punto]

b) Demuestre que existe $\alpha \in (1,3)$ tal que $f'(\alpha) = \dfrac{3}{2}\ln 2$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que la función es continua en el intervalo } \boldsymbol{[1,3]}\textbf{.}$

El logaritmo es continuo donde su argumento es positivo, así que estudiamos por separado numerador y denominador.

El denominador no se anula nunca:

$x^2-4x+6=(x-2)^2+2\geq2>0$

El numerador es positivo en todo el intervalo, porque el seno no pasa de 1 y $x>0$:

$5x-2-x\sin\dfrac{\pi x}{2}\geq5x-2-x=4x-2\geq4-2=2>0 \quad\text{para } x\geq1$

El cociente es, por tanto, positivo y continuo en $[1,3]$, y la composición con el logaritmo también. La función es continua en $[1,3]$ y, por los mismos motivos, derivable en $(1,3)$.

$\textbf{b) Demuestre que existe } \boldsymbol{\alpha\in(1,3)}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f'(\alpha)=\frac32\ln2}\textbf{. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso.}$

El resultado que se aplica es el teorema del valor medio de Lagrange: si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, existe algún $\alpha\in(a,b)$ tal que

$f'(\alpha)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Las dos hipótesis están probadas en el apartado anterior. Calculamos los valores en los extremos:

$f(1)=\ln\left(\dfrac{5-2-\sin\frac{\pi}{2}}{1-4+6}\right)=\ln\left(\dfrac{3-1}{3}\right)=\ln\dfrac23$

$f(3)=\ln\left(\dfrac{15-2-3\sin\frac{3\pi}{2}}{9-12+6}\right)=\ln\left(\dfrac{13+3}{3}\right)=\ln\dfrac{16}{3}$

$\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{\ln\frac{16}{3}-\ln\frac23}{2}=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{16/3}{2/3}=\dfrac{\ln8}{2}=\dfrac{3\ln2}{2}$

que es exactamente el valor del enunciado. El teorema garantiza, pues, que existe $\alpha\in(1,3)$ con $f'(\alpha)=\dfrac32\ln2$.