Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · Navarra · 2021

Calcule las asíntotas de esta función y estudie la posición de la curva respecto a ellas:

$f(x) = \dfrac{x^3-4x-1}{x^2-4}$ [2,5 puntos]

El denominador se anula en dos puntos:

$x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm2 \Rightarrow \text{Dom } f(x)=\mathbb{R}-\{-2,2\}$

Conviene empezar efectuando la división, porque de ella salen a la vez la asíntota oblicua y la posición de la curva:

$x^3-4x-1=x\left(x^2-4\right)-1 \Rightarrow f(x)=x-\dfrac{1}{x^2-4}$

Asíntotas verticales. En $x=\pm2$ el numerador no se anula —$f$ vale $-1$ y $-1$ respectivamente—, así que las dos rectas son asíntotas verticales. El signo de $x^2-4$ decide el de los límites: es positivo fuera de $[-2,2]$ y negativo dentro.

$\displaystyle\lim_{x\to-2^-}\left(x-\dfrac{1}{x^2-4}\right)=-2-\dfrac{1}{0^+}=-\infty \qquad \displaystyle\lim_{x\to-2^+}=-2-\dfrac{1}{0^-}=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to2^-}\left(x-\dfrac{1}{x^2-4}\right)=2-\dfrac{1}{0^-}=+\infty \qquad \displaystyle\lim_{x\to2^+}=2-\dfrac{1}{0^+}=-\infty$

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera en uno al del denominador, de modo que $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$ y no hay ninguna; sí hay, en cambio, asíntota oblicua.

$m=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^3-4x-1}{x^3-4x}=1$

$n=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-x\right)=\lim_{x\to\infty}\dfrac{-1}{x^2-4}=0$

La asíntota oblicua es $y=x$, la misma en $+\infty$ y en $-\infty$.

Posición de la curva respecto de la oblicua. La diferencia ya la tenemos calculada:

$f(x)-x=\dfrac{-1}{x^2-4}$

Si $|x|>2$, el denominador es positivo y la diferencia negativa: la curva va por debajo de la asíntota. Si $|x|<2$, el denominador es negativo y la diferencia positiva: la curva va por encima.



La función tiene las asíntotas verticales $x=-2$ y $x=2$ y la asíntota oblicua $y=x$, y no tiene horizontal. La curva queda por debajo de la oblicua en $(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$ y por encima en $(-2,2)$.