Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sea la función $f(x) = (x^2-3x+10)^{\log\left[2^{x-1} \cdot \sin\frac{\pi(x+2)}{6}\right]}$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[1,3]$. [1,25 puntos]

b) Demuestre que existe $\alpha \in (1,3)$ tal que $f(\alpha) = \dfrac{3}{2}$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que la función es continua en el intervalo } \boldsymbol{[1,3]}\textbf{.}$

Se trata de una potencia de base y exponente variables, $f(x)=g(x)^{h(x)}$, y es continua allí donde lo son la base y el exponente y además la base es positiva.

La base, $g(x)=x^2-3x+10$, es un polinomio, luego continuo, y es siempre positiva porque su discriminante es negativo:

$\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot10=9-40=-31<0$

El exponente es $h(x)=\log\left[2^{x-1}\sin\dfrac{\pi(x+2)}{6}\right]$, y el logaritmo exige que su argumento sea positivo. El factor $2^{x-1}$ lo es siempre; en cuanto al seno, cuando $x$ recorre $[1,3]$ el ángulo $\dfrac{\pi(x+2)}{6}$ recorre

$\left[\dfrac{3\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right]=\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{6}\right]$

donde el seno va de 1 a $\frac12$, siempre positivo. El argumento del logaritmo es, pues, positivo en todo el intervalo y $h$ es continua.

Por tanto $f$ es continua en $[1,3]$.

$\textbf{b) Demuestre que existe } \boldsymbol{\alpha\in(1,3)}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f(\alpha)=\frac32}\textbf{. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso.}$

El resultado que se aplica es el teorema de los valores intermedios: una función continua en $[a,b]$ toma en $(a,b)$ todos los valores comprendidos entre $f(a)$ y $f(b)$. La continuidad está probada.

$f(1)=\left(1-3+10\right)^{\log\left[2^{0}\sin\frac{\pi}{2}\right]}=8^{\log1}=8^{0}=1$

$f(3)=\left(9-9+10\right)^{\log\left[2^{2}\sin\frac{5\pi}{6}\right]}=10^{\log\left(4\cdot\frac12\right)}=10^{\log2}=2$

—en el último paso se usa que el logaritmo es decimal, de modo que $10^{\log2}=2$—.

Como

$f(1)=1<\dfrac32<2=f(3)$

el teorema garantiza que existe $\alpha\in(1,3)$ con $f(\alpha)=\dfrac32$, que es lo que se quería demostrar.