Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Encuentre la ecuación general del plano $\pi$ que es paralelo a las rectas

$r \equiv \begin{cases} x+2y+z+3=0 \\ x+6y-z-7=0 \end{cases}$ y $s \equiv \dfrac{x-3}{3} = \dfrac{y+2}{3} = \dfrac{z+2}{1}$

y equidista de ambas. [2,5 puntos]

El plano ha de ser paralelo a las dos rectas, luego su vector normal es perpendicular a los dos directores.

De $r$, dada como intersección de dos planos, el director es el producto vectorial de las dos normales:

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 6 & -1\end{vmatrix}=(-8,2,4)\ \parallel\ (-4,1,2)$

De $s$ leemos $S(3,-2,-2)$ y $\vec v_s=(3,3,1)$. Los dos directores no son proporcionales, así que el plano buscado existe.

$\vec n=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -4 & 1 & 2\\ 3 & 3 & 1\end{vmatrix}=(-5,10,-15)\ \parallel\ (1,-2,3)$

El plano es, pues, de la forma

$\pi:\ x-2y+3z+D=0 \qquad \left|\vec n\right|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$

Necesitamos un punto de cada recta. Para $r$, haciendo $z=0$:

$\begin{cases} x+2y+3=0 \\ x+6y-7=0 \end{cases} \Rightarrow 4y=10 \Rightarrow y=\dfrac52,\ x=-8$

$R\left(-8,\dfrac52,0\right)$

Imponemos que las dos distancias coincidan. Como cada recta es paralela al plano, su distancia es la de cualquiera de sus puntos:

$d(r,\pi)=\dfrac{\left|-8-5+0+D\right|}{\sqrt{14}}=\dfrac{|D-13|}{\sqrt{14}} \qquad d(s,\pi)=\dfrac{|3+4-6+D|}{\sqrt{14}}=\dfrac{|D+1|}{\sqrt{14}}$

$|D-13|=|D+1|$

La igualdad $D-13=D+1$ es imposible, así que ha de ser

$D-13=-(D+1) \Rightarrow 2D=12 \Rightarrow D=6$



Comprobamos el resultado. El plano es paralelo a las dos rectas, porque su normal es perpendicular a los dos directores,

$\vec n\cdot\vec v_r=-4-2+6=0 \qquad \vec n\cdot\vec v_s=3-6+3=0$

y equidista de ellas:

$d(r,\pi)=\dfrac{|6-13|}{\sqrt{14}}=\dfrac{7}{\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2} \qquad d(s,\pi)=\dfrac{|6+1|}{\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$

Además $D-13=-7<0$ y $D+1=7>0$, de modo que las dos rectas quedan a un lado y a otro: el plano pasa entre ellas.

La ecuación general del plano pedido es $\pi:\ x-2y+3z+6=0$.