Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule los siguientes límites:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x^2}{x^2+x-1}\right)^{2x-1}$ [1,25 puntos]

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(e^x-1)^2}{\ln(x+1)-x}$ [1,25 puntos]

$\textbf{Primer límite: } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2}{x^2+x-1}\right)^{2x-1}}$

La base tiende a 1 y el exponente a infinito: es una indeterminación $1^{\infty}$. Aplicamos la regla

$\displaystyle\lim f(x)^{g(x)}=e^{\lim g(x)\left[f(x)-1\right]}$

$f(x)-1=\dfrac{x^2}{x^2+x-1}-1=\dfrac{x^2-x^2-x+1}{x^2+x-1}=\dfrac{1-x}{x^2+x-1}$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(2x-1)\cdot\dfrac{1-x}{x^2+x-1}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+x-1}=-2$

—los dos polinomios son de grado 2 y el límite es el cociente de los coeficientes principales—. Por tanto,

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2}{x^2+x-1}\right)^{2x-1}=e^{-2}\approx0{,}1353$

$\textbf{Segundo límite: } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\left(e^x-1\right)^2}{\ln(x+1)-x}}$

En $x=0$ el numerador vale $(1-1)^2=0$ y el denominador $\ln1-0=0$: indeterminación $\frac00$. Aplicamos L'Hôpital.

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to0}\dfrac{2\left(e^x-1\right)e^x}{\frac{1}{x+1}-1}=\lim_{x\to0}\dfrac{2\left(e^x-1\right)e^x}{\frac{-x}{x+1}}=\left(\dfrac00\right)$

Sigue siendo indeterminado, así que volvemos a aplicarla:

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to0}\dfrac{4e^{2x}-2e^{x}}{-\frac{1}{(x+1)^2}}=\dfrac{4-2}{-1}=-2$

Los límites pedidos valen $e^{-2}$ y $-2$.