Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2022

Sea la función $f(x) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4} \ln \dfrac{1}{x}\right)$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $\left[\dfrac{1}{e}, e\right]$. [0,75 puntos]

b) Demuestre que existe un valor $\alpha \in \left(\dfrac{1}{e}, e\right)$ tal que $f'(\alpha) = \dfrac{e\sqrt{2}}{1-e^2}$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que la función es continua en el intervalo } \boldsymbol{\left[\frac1e,e\right]}\textbf{.}$

La función es la composición del seno con $\dfrac{\pi}{4}\ln\dfrac1x$. El logaritmo está definido y es continuo para $x>0$, y todo el intervalo $\left[\frac1e,e\right]$ cumple esa condición, porque $\frac1e\approx0{,}368>0$. El seno es continuo en todo $\mathbb{R}$, así que la composición es continua en $\left[\frac1e,e\right]$.

Por el mismo motivo es derivable en el interior del intervalo:

$f'(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\ln\dfrac1x\right)\cdot\dfrac{\pi}{4}\cdot x\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=-\dfrac{\pi}{4x}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\ln\dfrac1x\right)$

$\textbf{b) Demuestre que existe un valor } \boldsymbol{\alpha\in\left(\frac1e,e\right)}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f'(\alpha)=\frac{e\sqrt2}{1-e^2}}\textbf{. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso.}$

El resultado que se aplica es el teorema del valor medio de Lagrange: si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, existe algún $\alpha\in(a,b)$ tal que

$f'(\alpha)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Las dos hipótesis están probadas en el apartado anterior. Calculamos los valores en los extremos, recordando que $\ln\frac1x=-\ln x$:

$f\left(\dfrac1e\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\ln e\right)=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$

$f(e)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\ln\dfrac1e\right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt2}{2}$

y aplicamos la fórmula:

$\dfrac{f(e)-f\left(\frac1e\right)}{e-\frac1e}=\dfrac{-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{e^2-1}{e}}=\dfrac{-\sqrt2\cdot e}{e^2-1}=\dfrac{e\sqrt2}{1-e^2}$

que es exactamente el valor del enunciado. El teorema garantiza, pues, que existe $\alpha\in\left(\frac1e,e\right)$ con $f'(\alpha)=\dfrac{e\sqrt2}{1-e^2}\approx-0{,}6017$, que es lo que se quería demostrar.