Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Encuentre los puntos de la recta $r \equiv \begin{cases} 3x-y+z-6=0 \\ x-y+3z-8=0 \end{cases}$ que son centro de una esfera de radio 3, tangente al plano $\pi \equiv 2x+2y-z-7=0$. [2,5 puntos]

Una esfera de radio 3 es tangente al plano cuando la distancia de su centro al plano vale exactamente 3. El centro, además, ha de estar en la recta $r$, así que basta imponer esa condición sobre un punto genérico de $r$.

Escribimos la recta en paramétricas. Su director es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen:

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 3 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 3\end{vmatrix}=(-2,-8,-2)\ \parallel\ (1,4,1)$

Un punto se obtiene con $z=0$:

$\begin{cases} 3x-y=6 \\ x-y=8 \end{cases} \Rightarrow 2x=-2 \Rightarrow x=-1,\ y=-9$

$r\equiv\begin{cases} x=-1+t \\ y=-9+4t \\ z=t \end{cases}$



Imponemos la tangencia, con $\left|\vec n_{\pi}\right|=\sqrt{4+4+1}=3$:

$d(C,\pi)=\dfrac{\left|2(-1+t)+2(-9+4t)-t-7\right|}{3}=\dfrac{|9t-27|}{3}=3|t-3|=3$

$|t-3|=1 \Rightarrow \begin{cases} t-3=1 \Rightarrow t=4 \\ t-3=-1 \Rightarrow t=2 \end{cases}$

Sustituyendo cada valor en la recta:

$t=4 \Rightarrow C_1(3,7,4) \qquad t=2 \Rightarrow C_2(1,-1,2)$

Comprobamos las dos distancias:

$d(C_1,\pi)=\dfrac{|6+14-4-7|}{3}=\dfrac93=3 \qquad d(C_2,\pi)=\dfrac{|2-2-2-7|}{3}=\dfrac93=3$

Los dos puntos son simétricos respecto del punto en que $r$ corta al plano, que corresponde a $t=3$, uno a cada lado.

Los centros pedidos son $C_1(3,7,4)$ y $C_2(1,-1,2)$.