Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Calcule la ecuación general del plano $\pi$ perpendicular al plano $\alpha \equiv 2x-y-z-1=0$, sabiendo que contiene al punto $P(-1,2,1)$ y que la intersección de ambos planos es paralela a la siguiente recta:

$r \equiv \begin{cases} x+y-2z-3=0 \\ y-z-3=0 \end{cases}$ [2,5 puntos]

De los datos sacamos dos condiciones sobre el vector normal del plano buscado, $\vec n_{\pi}$.

i) $\pi$ es perpendicular a $\alpha$, y dos planos son perpendiculares cuando lo son sus normales:

$\vec n_{\pi}\perp\vec n_{\alpha}=(2,-1,-1)$

ii) La intersección de $\pi$ y $\alpha$ es paralela a $r$. Esa intersección está contenida en los dos planos, luego su dirección es perpendicular a las dos normales; en particular

$\vec n_{\pi}\perp\vec v_r$

Calculamos el director de $r$ como producto vectorial de las normales de los planos que la definen:

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & -2\\ 0 & 1 & -1\end{vmatrix}=(1,1,1)$

—obsérvese que $\vec v_r\cdot\vec n_{\alpha}=2-1-1=0$, es decir, $r$ ya es paralela a $\alpha$, como tiene que ser para que el enunciado sea coherente—.



Al ser perpendicular a los dos vectores, $\vec n_{\pi}$ es su producto vectorial:

$\vec n_{\pi}=\vec n_{\alpha}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & -1 & -1\\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix}=(0,-3,3)\ \parallel\ (0,-1,1)$

Imponemos que el plano pase por $P(-1,2,1)$:

$\pi:\ 0(x+1)-(y-2)+(z-1)=0 \Rightarrow -y+z+1=0 \Rightarrow \pi:\ y-z-1=0$

Comprobamos las dos condiciones. La perpendicularidad:

$\vec n_{\pi}\cdot\vec n_{\alpha}=(0)(2)+(-1)(-1)+(1)(-1)=0+1-1=0$

y el paralelismo de la intersección con $r$:

$\vec n_{\alpha}\times\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & -1 & -1\\ 0 & -1 & 1\end{vmatrix}=(-2,-2,-2)\ \parallel\ (1,1,1)=\vec v_r$

La ecuación general del plano pedido es $\pi:\ y-z-1=0$.