Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

$\begin{cases} (a^2-1)x + ay + a^2z = 1 \\ (a^2-1)x + (a+1)y + (a^2+a)z = 2 \\ y + (a^2+2a)z = a+2 \end{cases}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\begin{pmatrix} a^2-1 & a & a^2 \\ a^2-1 & a+1 & a^2+a \\ 0 & 1 & a^2+2a\end{pmatrix}$

Restamos la primera fila a la segunda, que comparten el primer coeficiente:

$|M|=\begin{vmatrix} a^2-1 & a & a^2 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 1 & a^2+2a\end{vmatrix}=\left(a^2-1\right)\begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & a^2+2a\end{vmatrix}$

$|M|=\left(a^2-1\right)\left(a^2+2a-a\right)=(a-1)(a+1)\cdot a(a+1)=a(a-1)(a+1)^2$

$|M|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=1 \\ a=-1 \end{cases}$

Si $a\neq0,\ 1,\ -1$, entonces $|M|\neq0$ y $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{nº de incógnitas}$: el sistema es compatible determinado, con solución

$x=-\dfrac{1}{a+1},\qquad y=0,\qquad z=\dfrac1a$

Si $a=0$, el sistema queda

$\begin{cases} -x=1 \\ -x+y=2 \\ y=2 \end{cases}$

De la primera, $x=-1$; de la tercera, $y=2$; y la segunda exige $1+2=2$, que es falso. El sistema es incompatible: $\operatorname{ran}(M)=2\neq3=\operatorname{ran}(M')$.

Si $a=-1$, se anula $a^2-1$ y desaparece la incógnita $x$:

$\begin{cases} -y+z=1 \\ 0=2 \\ y-z=1 \end{cases}$

La segunda ecuación es imposible —y las otras dos también se contradicen entre sí—, luego el sistema es incompatible.

Si $a=1$, también desaparece $x$ y queda

$\begin{cases} y+z=1 \\ 2y+2z=2 \\ y+3z=3 \end{cases}$

La segunda es el doble de la primera, así que sobra. De la primera, $y=1-z$, y llevándolo a la tercera, $1-z+3z=3 \Rightarrow z=1$ e $y=0$. Como $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$, el sistema es compatible indeterminado y su solución es

$\begin{cases} x=\lambda \\ y=0 \\ z=1 \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\neq0,\ 1,\ -1$, incompatible para $a=0$ y para $a=-1$, y compatible indeterminado con un grado de libertad para $a=1$.