Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2022

Se considera la función $f(x) = \dfrac{e^{x^2-2}}{x}$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[-2,-1]$. [0,75 puntos]

b) Compruebe que existe un valor $\alpha \in (-2,-1)$ tal que $f'(\alpha) = e$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que la función es continua en el intervalo } \boldsymbol{[-2,-1]}\textbf{.}$

La función es un cociente: el numerador, $e^{x^2-2}$, es continuo en todo $\mathbb{R}$ por ser la exponencial compuesta con un polinomio, y el denominador, $x$, también lo es. El único punto conflictivo sería $x=0$, donde se anula el denominador, y no pertenece a $[-2,-1]$.

Por tanto $f$ es continua en $[-2,-1]$; por el mismo motivo es derivable en ese intervalo, con

$f'(x)=\dfrac{2x\,e^{x^2-2}\cdot x-e^{x^2-2}}{x^2}=\dfrac{e^{x^2-2}\left(2x^2-1\right)}{x^2}$

$\textbf{b) Compruebe que existe un valor } \boldsymbol{\alpha\in(-2,-1)}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f'(\alpha)=e}\textbf{. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso.}$

Aquí no se aplica el teorema del valor medio, sino el de Bolzano —o el de los valores intermedios— a la propia función derivada: si $f'$ es continua en $[a,b]$ y $k$ está comprendido entre $f'(a)$ y $f'(b)$, existe algún punto interior en el que $f'$ vale $k$.

La expresión de $f'(x)$ obtenida arriba es de nuevo un cociente de funciones continuas con denominador no nulo en $[-2,-1]$, así que $f'$ es continua en ese intervalo cerrado. Calculamos sus valores en los extremos:

$f'(-2)=\dfrac{e^{4-2}\left(2\cdot4-1\right)}{4}=\dfrac{7e^2}{4}\approx12{,}93$

$f'(-1)=\dfrac{e^{1-2}\left(2-1\right)}{1}=\dfrac1e\approx0{,}368$

Como

$f'(-1)=\dfrac1e\approx0{,}368<e\approx2{,}718<12{,}93\approx\dfrac{7e^2}{4}=f'(-2)$

el valor $e$ está comprendido entre los dos, y el teorema garantiza que existe $\alpha\in(-2,-1)$ tal que $f'(\alpha)=e$, que es lo que se pedía.