Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2022

Se considera la función $f(x) = e^{\frac{1}{\sin x + \cos x}}$.

a) Estudie la continuidad de la función en el intervalo $[0,\pi]$. [0,75 puntos]

b) Halle su extremo relativo en ese mismo intervalo. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Estudie la continuidad de la función en el intervalo } \boldsymbol{[0,\pi]}\textbf{.}$

La función es la exponencial compuesta con $\dfrac{1}{\sin x+\cos x}$, y ese cociente deja de estar definido donde se anula el denominador. Escribimos la suma como un solo seno:

$\sin x+\cos x=\sqrt2\,\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

$\sin x+\cos x=0 \Rightarrow x+\dfrac{\pi}{4}=k\pi \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi$

De todas esas soluciones, la única que cae en $[0,\pi]$ es $x=\dfrac{3\pi}{4}$.

En los demás puntos del intervalo la función es composición y cociente de funciones continuas con denominador no nulo, luego es continua. En $x=\frac{3\pi}{4}$ no está definida, y estudiando los límites laterales se ve qué tipo de discontinuidad es: al acercarnos por la izquierda, $x+\frac{\pi}{4}$ tiende a $\pi$ por defecto y el seno es positivo, mientras que por la derecha es negativo.

$\displaystyle\lim_{x\to\frac{3\pi}{4}^-}e^{\frac{1}{\sin x+\cos x}}=e^{\frac{1}{0^+}}=e^{+\infty}=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to\frac{3\pi}{4}^+}e^{\frac{1}{\sin x+\cos x}}=e^{\frac{1}{0^-}}=e^{-\infty}=0$

La función es continua en $[0,\pi]-\left\{\frac{3\pi}{4}\right\}$ y tiene en $x=\frac{3\pi}{4}$ una discontinuidad esencial, con asíntota vertical por la izquierda.

$\textbf{b) Halle su extremo relativo en ese mismo intervalo.}$

Derivamos usando la regla de la cadena:

$f'(x)=e^{\frac{1}{\sin x+\cos x}}\cdot\left(-\dfrac{\cos x-\sin x}{\left(\sin x+\cos x\right)^2}\right)=\dfrac{\left(\sin x-\cos x\right)e^{\frac{1}{\sin x+\cos x}}}{\left(\sin x+\cos x\right)^2}$

La exponencial es siempre positiva y el denominador es un cuadrado, así que el signo de $f'(x)$ es el de $\sin x-\cos x$.

$f'(x)=0 \Rightarrow \sin x=\cos x \Rightarrow \tan x=1 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}$

que es la única solución en $[0,\pi]$.



Antes de $\frac{\pi}{4}$ se tiene $\sin x<\cos x$ y la función decrece; después, $\sin x>\cos x$ y la función crece. Hay, por tanto, un mínimo relativo, cuyo valor es

$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=e^{\frac{1}{\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}}}=e^{\frac{1}{\sqrt2}}=e^{\frac{\sqrt2}{2}}\approx2{,}0281$

El único extremo relativo de la función en $[0,\pi]$ es un mínimo, que se alcanza en $x=\dfrac{\pi}{4}$ y vale $e^{\frac{\sqrt2}{2}}\approx2{,}0281$.