Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Calcule la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P \equiv (1,2,-1)$, es paralela al plano $\pi \equiv 2x-y+z=0$ y corta a la recta:

$r \equiv \begin{cases} x-y+2z+2=0 \\ 3x-y-z-3=0 \end{cases}$ [2,5 puntos]

La recta buscada pasa por $P$ y es paralela a $\pi$, luego está contenida en el plano $\sigma$ que pasa por $P$ y es paralelo a $\pi$. Y como además corta a $r$, tiene que hacerlo justo donde $r$ atraviesa ese plano. Ese es el camino.

i) Plano $\sigma$. Al ser paralelo a $\pi$ comparte su normal, $\vec n=(2,-1,1)$, y pasa por $P(1,2,-1)$:

$\sigma:\ 2(x-1)-(y-2)+(z+1)=0 \Rightarrow \sigma:\ 2x-y+z+1=0$



ii) Escribimos $r$ en paramétricas. Su director es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen:

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & -1 & 2\\ 3 & -1 & -1\end{vmatrix}=(3,7,2)$

Un punto se obtiene haciendo $z=0$:

$\begin{cases} x-y+2=0 \\ 3x-y-3=0 \end{cases} \Rightarrow y=x+2 \Rightarrow 3x-x-2-3=0 \Rightarrow x=\dfrac52,\ y=\dfrac92$

$r\equiv\left(\dfrac52+3\lambda,\ \dfrac92+7\lambda,\ 2\lambda\right)$

iii) Cortamos $r$ con $\sigma$:

$2\left(\dfrac52+3\lambda\right)-\left(\dfrac92+7\lambda\right)+2\lambda+1=0$

$5+6\lambda-\dfrac92-7\lambda+2\lambda+1=0 \Rightarrow \lambda+\dfrac32=0 \Rightarrow \lambda=-\dfrac32$

$\lambda=-\dfrac32 \Rightarrow Q\left(\dfrac52-\dfrac92,\ \dfrac92-\dfrac{21}{2},\ -3\right)=Q(-2,-6,-3)$

iv) La recta pedida es la que une $P$ con $Q$:

$\overrightarrow{PQ}=(-2-1,\,-6-2,\,-3+1)=(-3,-8,-2)\ \parallel\ (3,8,2)$

$t\equiv\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{8}=\dfrac{z+1}{2}$

Comprobamos el paralelismo con $\pi$, que exige que el director sea perpendicular a la normal:

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec n=(-3)(2)+(-8)(-1)+(-2)(1)=-6+8-2=0$

y además $P\notin\pi$, porque $2\cdot1-2+(-1)=-1\neq0$, de modo que la recta es efectivamente paralela al plano y no está contenida en él.

La recta pedida es $t\equiv\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{8}=\dfrac{z+1}{2}$, y corta a $r$ en $Q(-2,-6,-3)$.