Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Calcule la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $T \equiv (1,-5,3)$ y corta a las siguientes rectas:

$r \equiv \begin{cases} -x-y-z+3=0 \\ 3x+z-10=0 \end{cases}$ y $s \equiv \dfrac{x}{-2} = \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z-2}{1}$ [2,5 puntos]

Escribimos $r$ en paramétricas. De la segunda ecuación, $z=10-3x$, y sustituyendo en la primera, $-x-y-10+3x+3=0 \Rightarrow y=2x-7$. Tomando $x=3-\lambda$,

$r\equiv\begin{cases} x=3-\lambda \\ y=-1-2\lambda \\ z=1+3\lambda \end{cases} \Rightarrow R(3,-1,1),\ \vec v_r=(-1,-2,3)$

De $s$ leemos $S(0,-1,2)$ y $\vec v_s=(-2,-1,1)$.



Las dos rectas se cruzan —el producto mixto $\left[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{RS}\right]$ vale $-6\neq0$—, así que la recta buscada es única: está a la vez en el plano que $T$ determina con $r$ y en el que determina con $s$.

i) Plano $\pi_1$ que contiene a $T$ y a $r$. Con $\overrightarrow{TR}=(2,4,-2)$,

$\vec n_1=\vec v_r\times\overrightarrow{TR}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -1 & -2 & 3\\ 2 & 4 & -2\end{vmatrix}=(-8,4,0)\ \parallel\ (2,-1,0)$

$\pi_1:\ 2(x-1)-(y+5)=0 \Rightarrow \pi_1:\ 2x-y-7=0$

ii) Plano $\pi_2$ que contiene a $T$ y a $s$. Con $\overrightarrow{TS}=(-1,4,-1)$,

$\vec n_2=\vec v_s\times\overrightarrow{TS}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -2 & -1 & 1\\ -1 & 4 & -1\end{vmatrix}=(-3,-3,-9)\ \parallel\ (1,1,3)$

$\pi_2:\ (x-1)+(y+5)+3(z-3)=0 \Rightarrow \pi_2:\ x+y+3z-5=0$

iii) El director de la recta es perpendicular a las dos normales:

$\vec v_t=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 3\end{vmatrix}=(-3,-6,3)\ \parallel\ (1,2,-1)$

$t\equiv\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+5}{2}=\dfrac{z-3}{-1}$

Comprobamos los cortes: el punto de $t$ de parámetro $2$ es $A(3,-1,1)$, que es el propio $R\in r$, y el de parámetro $3$ es $B(4,1,0)$, que pertenece a $s$ porque

$\dfrac{4}{-2}=\dfrac{1+1}{-1}=\dfrac{0-2}{1}=-2$

La recta pedida es $t\equiv\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+5}{2}=\dfrac{z-3}{-1}$, que corta a $r$ en $A(3,-1,1)$ y a $s$ en $B(4,1,0)$.