Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

$\begin{cases} x + (a^2-2a)y - z = -a^2 \\ x + (a^2-4)y + (2a-3)z = -a^2-2a \\ x + (a^2-4a+4)y + (a^2-2a)z = -a^2+a-1 \end{cases}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

Como las tres ecuaciones tienen el mismo coeficiente en $x$, restamos la primera a las otras dos, operación que no altera ni el sistema ni el determinante:

$\begin{cases} x+(a^2-2a)y-z=-a^2 \\ 2(a-2)y+2(a-1)z=-2a \\ -2(a-2)y+(a-1)^2z=a-1 \end{cases}$

$|M|=\begin{vmatrix} 1 & a^2-2a & -1 \\ 0 & 2(a-2) & 2(a-1) \\ 0 & -2(a-2) & (a-1)^2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2(a-2) & 2(a-1) \\ -2(a-2) & (a-1)^2\end{vmatrix}$

$|M|=2(a-2)(a-1)^2+4(a-2)(a-1)=2(a-2)(a-1)\left[(a-1)+2\right]=2(a-2)(a-1)(a+1)$

$|M|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ a=1 \\ a=-1 \end{cases}$

Seguimos con la eliminación. Sumando a la tercera ecuación el doble de la segunda dividida por 2 —es decir, sumando $2\left[(a-2)y+(a-1)z=-a\right]$ a la tercera— desaparece la $y$:

$(a-1)^2z+2(a-1)z=a-1-2a \Rightarrow (a-1)(a+1)z=-(a+1)$

Si $a\neq2,\ 1,\ -1$, entonces $|M|\neq0$ y $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{nº de incógnitas}$: el sistema es compatible determinado. Despejando en cadena,

$z=-\dfrac{1}{a-1},\qquad y=\dfrac{1-a}{a-2},\qquad x=\dfrac{-a^2+a-1}{a-1}$

Si $a=1$, la relación anterior queda $0\cdot z=-2$, imposible: el sistema es incompatible.

Si $a=2$, de esa misma relación sale $z=-1$, pero la segunda ecuación se convierte en $0\cdot y+2z=-4 \Rightarrow z=-2$: dos valores incompatibles para $z$. El sistema es incompatible.

Si $a=-1$, la relación es $0=0$: la tercera ecuación es consecuencia de las dos primeras y el sistema queda

$\begin{cases} x+3y-z=-1 \\ -3y-2z=1 \end{cases}$

Como $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$, es compatible indeterminado. Tomando $z=\lambda$,

$\begin{cases} x=3\lambda \\ y=-\dfrac{1+2\lambda}{3} \\ z=\lambda \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\neq2,\ 1,\ -1$, incompatible para $a=1$ y para $a=2$, y compatible indeterminado con un grado de libertad para $a=-1$.