Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

La curva de la imagen corresponde a la función $f(x) = x \cdot \sin x$. Tal y como se intuye, la curva corta el eje $OX$ en infinitos puntos:



Encuentre los puntos $P$ y $Q$, y, a continuación, calcule el área de la región del plano sombreada. [2,5 puntos]

Los cortes de la curva con el eje $OX$ salen de igualar la función a cero:

$x\cdot\sin x=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ \sin x=0 \Rightarrow x=k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}$

Es decir, la curva corta al eje en $x=k\pi$, que son infinitos puntos, tal como dice el enunciado. Los dos marcados en la figura son los dos primeros a la derecha del origen:

$P(\pi,0) \qquad Q(2\pi,0)$

La región sombreada consta de dos lóbulos, y hay que integrar cada uno por separado porque la función cambia de signo en $P$: en $(0,\pi)$ se tiene $x>0$ y $\sin x>0$, luego $f(x)>0$; en $(\pi,2\pi)$ el seno es negativo y $f(x)<0$.

Calculamos primero una primitiva, por partes:

$\begin{cases} u=x & du=dx \\ dv=\sin x\,dx & v=-\cos x \end{cases}$

$\displaystyle\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int\cos x\,dx=-x\cos x+\sin x$

Primer lóbulo:

$A_1=\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\left[-x\cos x+\sin x\right]_{0}^{\pi}=\left(\pi+0\right)-\left(0+0\right)=\pi$

Segundo lóbulo:

$\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}x\sin x\,dx=\left[-x\cos x+\sin x\right]_{\pi}^{2\pi}=\left(-2\pi+0\right)-\left(\pi+0\right)=-3\pi$

$A_2=\left|-3\pi\right|=3\pi$

El área total es la suma de las dos, tomadas en valor absoluto:

$A=A_1+A_2=\pi+3\pi=4\pi\approx12{,}566\ \text{u}^2$

Los puntos pedidos son $P(\pi,0)$ y $Q(2\pi,0)$, y la región sombreada tiene un área de $4\pi\approx12{,}57$ unidades cuadradas.