Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2023

Se considera la función $f(x) = \sqrt{\dfrac{1}{2} - \sin\dfrac{\pi x}{6}}$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[7,11]$ y derivable en $(7,11)$. [1,25 puntos]

b) Compruebe que existe un valor $\alpha \in (7,11)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que la función es continua en el intervalo } \boldsymbol{[7,11]}\textbf{ y derivable en } \boldsymbol{(7,11)}\textbf{.}$

La raíz cuadrada es continua donde su radicando es no negativo y derivable donde es estrictamente positivo, así que basta estudiar el signo de

$g(x)=\dfrac12-\sin\dfrac{\pi x}{6}$

Cuando $x$ recorre $[7,11]$, el argumento $\frac{\pi x}{6}$ recorre $\left[\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right]$, es decir, el tercer y el cuarto cuadrante, donde el seno es negativo o nulo. Su valor máximo en ese tramo se alcanza en los dos extremos y vale

$\sin\dfrac{7\pi}{6}=\sin\dfrac{11\pi}{6}=-\dfrac12$

Por tanto $\sin\frac{\pi x}{6}\leq-\frac12$ en todo $[7,11]$ y

$g(x)=\dfrac12-\sin\dfrac{\pi x}{6}\geq\dfrac12+\dfrac12=1>0$

El radicando es estrictamente positivo en todo el intervalo cerrado, de modo que $f$ es continua en $[7,11]$ y derivable en $(7,11)$ —de hecho, en todo el cerrado—, con

$f'(x)=\dfrac{-\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi x}{6}}{2\sqrt{\frac12-\sin\frac{\pi x}{6}}}$

$\textbf{b) Compruebe que existe un valor } \boldsymbol{\alpha\in(7,11)}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f'(\alpha)=0}\textbf{. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso.}$

El resultado que se aplica es el teorema de Rolle: si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$, existe algún $\alpha\in(a,b)$ con $f'(\alpha)=0$.

Las dos primeras hipótesis están probadas en el apartado anterior. Comprobamos la tercera:

$f(7)=\sqrt{\dfrac12-\sin\dfrac{7\pi}{6}}=\sqrt{\dfrac12+\dfrac12}=1$

$f(11)=\sqrt{\dfrac12-\sin\dfrac{11\pi}{6}}=\sqrt{\dfrac12+\dfrac12}=1$

Se cumplen las tres, así que existe $\alpha\in(7,11)$ con $f'(\alpha)=0$. Anulando el numerador de la derivada se identifica: $\cos\frac{\pi x}{6}=0$ en $\frac{\pi x}{6}=\frac{3\pi}{2}$, es decir, en $\alpha=9$, donde la función alcanza su máximo, $f(9)=\sqrt{\frac32}=\frac{\sqrt6}{2}$.