Matemáticas II · Derivadas · Navarra · 2023

Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2023

Calcule las derivadas de las siguientes funciones y sus valores en el punto x=0 x=0 :

a) f(x)=ln⁡[cos⁡(πx)⋅ex2+2x] f(x) = \ln\left[\cos(\pi x) \cdot e^{x^2+2x}\right] [1,25 puntos]

b) g(x)=arctan⁡1+2x+e2x g(x) = \arctan\sqrt{1+2x+e^{2x}} [1,25 puntos]

Solución

a) f(x)=ln⁡[cos⁡(πx)⋅ex2+2x]\textbf{a) } \boldsymbol{f(x)=\ln\left[\cos(\pi x)\cdot e^{x^2+2x}\right]}

Conviene deshacer el logaritmo antes de derivar, aplicando que el del producto es la suma de logaritmos:

f(x)=ln⁡[cos⁡(πx)]+ln⁡ex2+2x=ln⁡[cos⁡(πx)]+x2+2x f(x)=\ln\left[\cos(\pi x)\right]+\ln e^{x^2+2x}=\ln\left[\cos(\pi x)\right]+x^2+2x

f′(x)=−πsin⁡(πx)cos⁡(πx)+2x+2=−πtan⁡(πx)+2x+2 f'(x)=\dfrac{-\pi\sin(\pi x)}{\cos(\pi x)}+2x+2=-\pi\tan(\pi x)+2x+2

f′(0)=−πtan⁡0+0+2=2 f'(0)=-\pi\tan0+0+2=2

b) g(x)=arctan⁡1+2x+e2x\textbf{b) } \boldsymbol{g(x)=\arctan\sqrt{1+2x+e^{2x}}}

Derivamos la composición de fuera adentro. Llamando u=1+2x+e2x u=\sqrt{1+2x+e^{2x}} ,

g′(x)=u′1+u2u′=2+2e2x21+2x+e2x=1+e2x1+2x+e2x g'(x)=\dfrac{u'}{1+u^2} \qquad u'=\dfrac{2+2e^{2x}}{2\sqrt{1+2x+e^{2x}}}=\dfrac{1+e^{2x}}{\sqrt{1+2x+e^{2x}}}

1+u2=1+1+2x+e2x=2+2x+e2x 1+u^2=1+1+2x+e^{2x}=2+2x+e^{2x}

g′(x)=1+e2x1+2x+e2x (2+2x+e2x) g'(x)=\dfrac{1+e^{2x}}{\sqrt{1+2x+e^{2x}}\,\left(2+2x+e^{2x}\right)}

g′(0)=1+11+0+1 (2+0+1)=232=23≈0,4714 g'(0)=\dfrac{1+1}{\sqrt{1+0+1}\,\left(2+0+1\right)}=\dfrac{2}{3\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{3}\approx0{,}4714

Las derivadas pedidas valen, en x=0 x=0 , f′(0)=2 f'(0)=2 y g′(0)=23 g'(0)=\dfrac{\sqrt2}{3} .

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