Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Halle el plano paralelo a $r$ y $s$ que se encuentra a $3u$ de $r$ y $6u$ de $s$, siendo

$r \equiv \begin{cases} 2x-y+2z+7=0 \\ 5x+2y+2z-2=0 \end{cases}$ y $s \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+3}{0} = \dfrac{z-5}{-1}$ [2,5 puntos]

El plano buscado es paralelo a las dos rectas, así que su vector normal es perpendicular a los dos directores: lo obtenemos con el producto vectorial.

La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos, de normales $\vec n_1=(2,-1,2)$ y $\vec n_2=(5,2,2)$, luego su director es

$\vec v_r=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & -1 & 2\\ 5 & 2 & 2\end{vmatrix}=(-6,6,9)\ \parallel\ (-2,2,3)$

De $s$ leemos directamente $\vec v_s=(2,0,-1)$ y el punto $S(1,-3,5)$.

$\vec n=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -2 & 2 & 3\\ 2 & 0 & -1\end{vmatrix}=(-2,4,-4)\ \parallel\ (1,-2,2)$

El plano es, pues, de la forma

$\pi:\ x-2y+2z+D=0 \qquad \left|\vec n\right|=\sqrt{1+4+4}=3$

Necesitamos un punto de $r$. Haciendo $z=0$ en sus dos ecuaciones,

$\begin{cases} 2x-y+7=0 \\ 5x+2y-2=0 \end{cases} \Rightarrow y=2x+7 \Rightarrow 5x+4x+14=2 \Rightarrow x=-\dfrac43,\ y=\dfrac{13}{3}$

$R\left(-\dfrac43,\dfrac{13}{3},0\right)$

Como la recta es paralela al plano, su distancia a él es la de cualquiera de sus puntos:

$d(r,\pi)=\dfrac{\left|-\frac43-\frac{26}{3}+0+D\right|}{3}=\dfrac{|D-10|}{3}=3 \Rightarrow |D-10|=9 \Rightarrow \begin{cases} D=19 \\ D=1 \end{cases}$

$d(s,\pi)=\dfrac{|1+6+10+D|}{3}=\dfrac{|D+17|}{3}=6 \Rightarrow |D+17|=18 \Rightarrow \begin{cases} D=1 \\ D=-35 \end{cases}$

El único valor que cumple las dos condiciones a la vez es $D=1$.



Comprobamos el resultado. El plano es paralelo a las dos rectas, porque su normal es perpendicular a los dos directores:

$\vec n\cdot\vec v_r=(1,-2,2)\cdot(-2,2,3)=-2-4+6=0 \qquad \vec n\cdot\vec v_s=(1,-2,2)\cdot(2,0,-1)=2+0-2=0$

y las distancias son las pedidas:

$d(r,\pi)=\dfrac{|1-10|}{3}=3 \qquad d(s,\pi)=\dfrac{|1+17|}{3}=6$

Además $D-10=-9<0$ y $D+17=18>0$, de modo que las dos rectas quedan en semiespacios distintos: el plano pasa entre ellas.

El plano pedido es $\pi:\ x-2y+2z+1=0$.