Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Halle la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(-3,-2,3)$ y que corta a las rectas $r$ y $s$, siendo

$r \equiv \begin{cases} x+y-z-1=0 \\ x-y+2z+1=0 \end{cases}$ y $s \equiv \dfrac{x-3}{-1} = \dfrac{y+5}{2} = \dfrac{z+3}{1}$ [2,5 puntos]

Escribimos $r$ en paramétricas. Sumando sus dos ecuaciones se obtiene $2x+z=0 \Rightarrow x=-\frac z2$, y de la primera $y=1-x+z=1+\frac{3z}{2}$. Tomando $z=-2\lambda$,

$r\equiv\begin{cases} x=\lambda \\ y=1-3\lambda \\ z=-2\lambda \end{cases} \Rightarrow R(0,1,0),\ \vec v_r=(1,-3,-2)$

De $s$ leemos $S(3,-5,-3)$ y $\vec v_s=(-1,2,1)$.

Antes de plantear nada estudiamos la posición relativa de las dos rectas. El punto $R(0,1,0)$ de $r$, ¿pertenece a $s$?

$\dfrac{0-3}{-1}=3,\qquad \dfrac{1+5}{2}=3,\qquad \dfrac{0+3}{1}=3$

Los tres cocientes coinciden, así que $R$ está también en $s$: las dos rectas se cortan en $I(0,1,0)$.



Al ser secantes, $r$ y $s$ determinan un plano $\pi$, y toda recta que corte a las dos o pasa por $I$ o está contenida en $\pi$. Comprobamos que $P$ no está en ese plano, con lo que la solución será única. Un vector normal es

$\vec n=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & -3 & -2\\ -1 & 2 & 1\end{vmatrix}=(1,1,-1)$

$\pi:\ (x-0)+(y-1)-(z-0)=0 \Rightarrow \pi:\ x+y-z-1=0$

$P(-3,-2,3):\quad -3-2-3-1=-9\neq0 \Rightarrow P\notin\pi$

Por tanto la recta buscada es la que une $P$ con el punto común $I$:

$\vec v_t=\overrightarrow{PI}=(0,1,0)-(-3,-2,3)=(3,3,-3)\ \parallel\ (1,1,-1)$

$t\equiv\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-3}{-1}$

Obsérvese que su director coincide con $\vec n$: la recta pedida resulta ser, además, perpendicular al plano que determinan $r$ y $s$.

La recta pedida es $t\equiv\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-3}{-1}$, que corta a $r$ y a $s$ en su punto común $I(0,1,0)$.