Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

$\begin{cases} ax+y-2z=1 \\ 3ax+a^2y-2a^2z=3 \\ -ax-y+(a^2-1)z = a+\sqrt{3}-1 \end{cases}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 3a & a^2 & -2a^2 \\ -a & -1 & a^2-1\end{pmatrix}$

Sumamos la primera fila a la tercera, con lo que esta se queda con un solo elemento no nulo:

$|M|=\begin{vmatrix} a & 1 & -2 \\ 3a & a^2 & -2a^2 \\ 0 & 0 & a^2-3\end{vmatrix}=\left(a^2-3\right)\begin{vmatrix} a & 1 \\ 3a & a^2\end{vmatrix}$

$|M|=\left(a^2-3\right)\left(a^3-3a\right)=\left(a^2-3\right)\cdot a\left(a^2-3\right)=a\left(a^2-3\right)^2$

$|M|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=\sqrt3 \\ a=-\sqrt3 \end{cases}$

Si $a\neq0,\ \pm\sqrt3$, entonces $|M|\neq0$ y $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{nº de incógnitas}$: el sistema es compatible determinado, con solución

$x=\dfrac1a,\qquad y=\dfrac{2}{a-\sqrt3},\qquad z=\dfrac{1}{a-\sqrt3}$

Si $a=0$, la segunda ecuación queda $0=3$, que es imposible: el sistema es incompatible.

Si $a=\sqrt3$, las tres filas de $M$ son proporcionales a la primera —la segunda es su triple y la tercera su opuesta—, de modo que $\operatorname{ran}(M)=1$. En cambio, en la ampliada la tercera fila no sigue esa proporción:

$-\sqrt3\,x-y+2z=\sqrt3+\sqrt3-1=2\sqrt3-1$

mientras que la opuesta de la primera exigiría $-1$. Como $2\sqrt3-1\neq-1$, resulta $\operatorname{ran}(M')=2\neq1=\operatorname{ran}(M)$ y el sistema es incompatible.

Si $a=-\sqrt3$, el término independiente de la tercera ecuación es $a+\sqrt3-1=-\sqrt3+\sqrt3-1=-1$, que sí es el opuesto del primero, y el de la segunda, $3$, es el triple del primero. Las tres ecuaciones dicen entonces lo mismo:

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=1<3=\text{nº de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad, y se reduce a la primera ecuación:

$-\sqrt3\,x+y-2z=1 \Rightarrow x=\dfrac{y-2z-1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\left(y-2z-1\right)$

$\begin{cases} x=\dfrac{\sqrt3}{3}\left(\lambda-2\mu-1\right) \\ y=\lambda \\ z=\mu \end{cases}\quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\neq0,\ \pm\sqrt3$, incompatible para $a=0$ y para $a=\sqrt3$, y compatible indeterminado con dos grados de libertad para $a=-\sqrt3$.