Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Encuentre los dos puntos en que se cortan las gráficas de $f(x) = 2-2x^2$ y $g(x) = x^4-x^2$. Calcule el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. [2,5 puntos]

Igualamos las dos funciones:

$2-2x^2=x^4-x^2 \Rightarrow x^4+x^2-2=0$

Es una ecuación bicuadrada. Con $u=x^2$,

$u^2+u-2=0 \Rightarrow u=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{-1\pm3}{2} \Rightarrow \begin{cases} u=1 \\ u=-2 \end{cases}$

Se descarta $u=-2$, porque $x^2$ no puede ser negativo. Queda

$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$

Las ordenadas se obtienen sustituyendo: $f(1)=2-2=0$ y $f(-1)=0$. Los dos puntos de corte son

$(-1,0) \qquad\text{y}\qquad (1,0)$

Para saber qué curva va por encima evaluamos en un punto intermedio, $x=0$:

$f(0)=2 \qquad g(0)=0$

luego $f(x)>g(x)$ en todo $(-1,1)$.



$A=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left[\left(2-2x^2\right)-\left(x^4-x^2\right)\right]dx=\int_{-1}^{1}\left(2-x^2-x^4\right)dx$

Las dos funciones son pares, así que el recinto es simétrico respecto del eje $OY$ y basta integrar de 0 a 1 y duplicar:

$A=2\displaystyle\int_{0}^{1}\left(2-x^2-x^4\right)dx=2\left[2x-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right]_{0}^{1}$

$A=2\left(2-\dfrac13-\dfrac15\right)=2\cdot\dfrac{30-5-3}{15}=\dfrac{44}{15}\approx2{,}9333\ \text{u}^2$

Las gráficas se cortan en $(-1,0)$ y $(1,0)$, y el recinto que encierran tiene un área de $\dfrac{44}{15}\approx2{,}93$ unidades cuadradas.