Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Se considera la función $f(x) = (x+1)\sin(\pi x)$.

a) Demuestre que es continua en $\mathbb{R}$. [0,5 puntos]

b) Compruebe que existe un valor $\alpha \in (0,1)$ tal que $f(\alpha) = \dfrac{3}{4}$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [2 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que es continua en } \boldsymbol{\mathbb{R}}\textbf{.}$

La función es el producto de dos funciones continuas en todo $\mathbb{R}$: el polinomio $x+1$ y $\sin(\pi x)$, que es la composición del seno con una función lineal. El producto de funciones continuas es continuo, así que $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.

$\textbf{b) Compruebe que existe un valor } \boldsymbol{\alpha\in(0,1)}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f(\alpha)=\frac34}\textbf{. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso.}$

El resultado que se aplica es el teorema de Bolzano —o, equivalentemente, el de los valores intermedios—: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $k$ está comprendido entre $f(a)$ y $f(b)$, existe algún punto interior en el que la función vale $k$.

Los extremos del intervalo no sirven directamente, porque en los dos la función se anula:

$f(0)=(0+1)\sin0=0 \qquad f(1)=(1+1)\sin\pi=0$

y $\frac34$ no está comprendido entre $0$ y $0$. Hay que elegir un subintervalo. Tomamos el punto medio:

$f\left(\dfrac12\right)=\left(\dfrac12+1\right)\sin\dfrac{\pi}{2}=\dfrac32\cdot1=\dfrac32$

Ahora sí: $f$ es continua en $\left[0,\frac12\right]$ y

$f(0)=0<\dfrac34<\dfrac32=f\left(\dfrac12\right)$

luego existe $\alpha\in\left(0,\frac12\right)$ con $f(\alpha)=\dfrac34$. Y como $\left(0,\frac12\right)\subset(0,1)$, ese $\alpha$ es también del intervalo pedido.

Existe, pues, al menos un valor $\alpha\in(0,1)$ tal que $f(\alpha)=\frac34$. Por simetría, aplicando el mismo razonamiento en $\left[\frac12,1\right]$ se ve que en realidad hay dos.