Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Estudie la continuidad en $\mathbb{R}$ de la siguiente función:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\cos^2(\pi x)-1}{1-x} & x<1 \\[1ex] \ln(x \cdot e^{x+1}) - 2x & x \geq 1 \end{cases}$ [2,5 puntos]

La función está definida a trozos, así que estudiamos por separado cada rama y después el punto de empalme.

Para $x<1$ la expresión es un cociente cuyo denominador, $1-x$, no se anula —solo lo haría en $x=1$, que no pertenece a ese trozo—, y cuyo numerador es continuo por serlo el coseno. La función es, pues, continua en $(-\infty,1)$.

Para $x\geq1$ conviene simplificar la expresión aplicando las propiedades del logaritmo:

$\ln\left(x\cdot e^{x+1}\right)-2x=\ln x+\ln e^{x+1}-2x=\ln x+x+1-2x=\ln x-x+1$

Como $x\geq1>0$, el logaritmo está definido y la rama es continua en $[1,+\infty)$.

Queda el punto $x=1$. Calculamos los dos límites laterales y el valor de la función.

$f(1)=\ln1-1+1=0$

$\displaystyle\lim_{x\to1^+}\left(\ln x-x+1\right)=0-1+1=0$

Para el límite por la izquierda usamos la identidad fundamental, $\cos^2(\pi x)-1=-\sin^2(\pi x)$:

$\displaystyle\lim_{x\to1^-}\dfrac{\cos^2(\pi x)-1}{1-x}=\lim_{x\to1^-}\dfrac{-\sin^2(\pi x)}{1-x}=\left(\dfrac{0}{0}\right)$

Aplicamos la regla de L'Hôpital:

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to1^-}\dfrac{-2\pi\sin(\pi x)\cos(\pi x)}{-1}=2\pi\sin(\pi)\cos(\pi)=2\pi\cdot0\cdot(-1)=0$

Los tres valores coinciden:

$\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)=0$

luego $f$ es continua también en $x=1$.

La función es continua en todo $\mathbb{R}$.