Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sean $P(1,5,-1)$ y la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{1} = \dfrac{z+4}{2}$.

a) Calcule el punto $Q \in r$ tal que la distancia de $P$ a $Q$ sea mínima. [1,25 puntos]

b) Halle los puntos $Q_1$ y $Q_2$ pertenecientes a $r$ tales que $d(P,Q_1) = d(P,Q_2) = 3\sqrt{2}$. [1,25 puntos]

De la ecuación de la recta leemos un punto y un director:

$r:\ \{A(1,2,-4),\ \vec v_r=(2,1,2)\} \qquad \left|\vec v_r\right|=\sqrt{4+1+4}=3$

Un punto genérico de $r$ es $X(1+2k,\,2+k,\,-4+2k)$.

$\textbf{a) Calcule el punto } \boldsymbol{Q\in r}\textbf{ tal que la distancia de } \boldsymbol{P}\textbf{ a } \boldsymbol{Q}\textbf{ sea mínima.}$

La distancia de un punto a una recta se mide en perpendicular, así que el punto buscado es el pie de la perpendicular trazada desde $P$.



$\overrightarrow{PX}=(1+2k-1,\,2+k-5,\,-4+2k+1)=(2k,\,k-3,\,2k-3)$

Imponemos que sea perpendicular al director:

$\overrightarrow{PX}\cdot\vec v_r=2(2k)+(k-3)+2(2k-3)=4k+k-3+4k-6=9k-9=0 \Rightarrow k=1$

$k=1 \Rightarrow Q(3,3,-2)$

$d(P,Q)=\left|(2,-2,-1)\right|=\sqrt{4+4+1}=3$

El punto de $r$ más próximo a $P$ es $Q(3,3,-2)$, y la distancia mínima es de 3 unidades.

$\textbf{b) Halle los puntos } \boldsymbol{Q_1}\textbf{ y } \boldsymbol{Q_2}\textbf{ pertenecientes a } \boldsymbol{r}\textbf{ tales que } \boldsymbol{d(P,Q_1)=d(P,Q_2)=3\sqrt2}\textbf{.}$

Imponemos ahora la condición sobre el punto genérico:

$\left|\overrightarrow{PX}\right|^2=\left(2k\right)^2+\left(k-3\right)^2+\left(2k-3\right)^2=\left(3\sqrt2\right)^2=18$

$4k^2+k^2-6k+9+4k^2-12k+9=18 \Rightarrow 9k^2-18k=0 \Rightarrow 9k(k-2)=0$

$\begin{cases} k=0 \\ k=2 \end{cases}$

$k=0 \Rightarrow Q_1(1,2,-4) \qquad k=2 \Rightarrow Q_2(5,4,0)$

Los dos son simétricos respecto del pie $Q$, como era de esperar: el triángulo rectángulo de catetos $d(P,Q)=3$ y $\overline{QQ_i}$ tiene hipotenusa $3\sqrt2$, luego $\overline{QQ_i}=\sqrt{18-9}=3$ a cada lado.

Los puntos pedidos son $Q_1(1,2,-4)$ y $Q_2(5,4,0)$.