Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Calcule la ecuación continua de la recta perpendicular a $r$ y $s$ que corta a ambas, siendo

$r \equiv \begin{cases} x-y-z+2=0 \\ x-3y+3z-8=0 \end{cases}$ y $s \equiv \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+5}{-4} = \dfrac{z}{-2}$ [2,5 puntos]

Escribimos primero la recta $r$ en paramétricas. Restando las dos ecuaciones que la definen se obtiene $2y-4z+10=0 \Rightarrow y=2z-5$, y sustituyendo en la primera, $x=y+z-2=3z-7$. Con $z=\lambda$,

$r\equiv\begin{cases} x=-7+3\lambda \\ y=-5+2\lambda \\ z=\lambda \end{cases} \Rightarrow R(-7,-5,0),\ \vec v_r=(3,2,1)$

De $s$ leemos $S(2,-5,0)$ y $\vec v_s=(3,-4,-2)$.

Antes de nada conviene ver cómo están situadas las dos rectas, porque los directores no son proporcionales pero eso no basta para asegurar que se crucen. Igualamos los puntos genéricos:

$\begin{cases} -7+3\lambda=2+3\mu \\ -5+2\lambda=-5-4\mu \\ \lambda=-2\mu \end{cases}$

Las dos últimas dan la misma condición, $\lambda=-2\mu$, y llevándola a la primera, $-7-6\mu=2+3\mu \Rightarrow \mu=-1$ y $\lambda=2$. El sistema es compatible, de modo que las rectas se cortan en el punto

$I(-7+6,\,-5+4,\,2)=I(-1,-1,2)$



Al ser secantes, $r$ y $s$ determinan un plano, y la recta que es perpendicular a las dos y las corta no puede ser otra que la perpendicular a ese plano por el punto común. Su director es, por tanto, el producto vectorial de los dos directores:

$\vec v_t=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 3 & 2 & 1\\ 3 & -4 & -2\end{vmatrix}=(0,9,-18)\ \parallel\ (0,1,-2)$

Escribimos la recta que pasa por $I(-1,-1,2)$ con ese director:

$t\equiv\dfrac{x+1}{0}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-2}$

Como la primera componente del director es nula, la recta está contenida en el plano $x=-1$; escrita sin denominadores nulos,

$t\equiv\begin{cases} x=-1 \\ \dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-2} \end{cases}$

La recta perpendicular a $r$ y a $s$ que corta a las dos es $t\equiv\dfrac{x+1}{0}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-2}$, y las corta a las dos en el mismo punto, $I(-1,-1,2)$, porque las rectas dadas son secantes.