Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

$\begin{cases} x - y - z = 0 \\ 2x + (2a-1)y + (\sqrt{2}-2)z = 2 \\ -ax + ay + 2a^2 z = \sqrt{2} \end{cases}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & 2a-1 & \sqrt2-2 \\ -a & a & 2a^2\end{pmatrix}$

Sumamos a la segunda columna la primera, operación que no altera el determinante y deja dos ceros:

$|M|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 2a+1 & \sqrt2-2 \\ -a & 0 & 2a^2\end{vmatrix}=(2a+1)\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -a & 2a^2\end{vmatrix}$

$|M|=(2a+1)\left(2a^2-a\right)=a(2a-1)(2a+1)$

$|M|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=\dfrac12 \\ a=-\dfrac12 \end{cases}$

Si $a\neq0,\ \pm\frac12$, entonces $|M|\neq0$ y $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{nº de incógnitas}$: el sistema es compatible determinado, con solución

$x=\dfrac{2a-2+\sqrt2}{a(2a-1)},\qquad y=\dfrac{2(a-1)}{a(2a-1)},\qquad z=\dfrac{\sqrt2}{a(2a-1)}$

Si $a=0$, la tercera ecuación queda

$0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=\sqrt2$

que es imposible: el sistema es incompatible.

Si $a=\dfrac12$, la tercera ecuación es

$-\dfrac12 x+\dfrac12 y+\dfrac12 z=\sqrt2 \Rightarrow x-y-z=-2\sqrt2$

y la primera dice $x-y-z=0$. Los dos primeros miembros coinciden y los términos independientes no, luego el sistema es incompatible.

Si $a=-\dfrac12$, la segunda columna de $M$ es la opuesta de la primera, así que $\operatorname{ran}(M)=2$, y se comprueba que también $\operatorname{ran}(M')=2$: el sistema es compatible indeterminado. Las ecuaciones primera y tercera son

$\begin{cases} x-y-z=0 \\ x-y+z=2\sqrt2 \end{cases}$

Restándolas, $2z=2\sqrt2 \Rightarrow z=\sqrt2$, y de la primera $x-y=\sqrt2$. La segunda ecuación del sistema se cumple entonces automáticamente, porque

$2(x-y)+(\sqrt2-2)z=2\sqrt2+(\sqrt2-2)\sqrt2=2\sqrt2+2-2\sqrt2=2$

La solución es

$\begin{cases} x=\lambda+\sqrt2 \\ y=\lambda \\ z=\sqrt2 \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\neq0,\ \pm\frac12$, incompatible para $a=0$ y para $a=\frac12$, y compatible indeterminado con un grado de libertad para $a=-\frac12$.