Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Encuentre los dos puntos en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

$f(x) = \ln x$ y $g(x) = \dfrac{x-1}{e-1}$

Calcule el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. [2,5 puntos]

Igualamos las dos funciones:

$\ln x=\dfrac{x-1}{e-1}$

La recta $g$ pasa por $(1,0)$ y por $(e,1)$, y esos son precisamente dos puntos de la curva logarítmica, porque $\ln1=0$ y $\ln e=1$. Sustituyendo se comprueba:

$x=1:\quad \ln1=0=\dfrac{1-1}{e-1} \qquad x=e:\quad \ln e=1=\dfrac{e-1}{e-1}$

No hay más cortes: $g$ es la cuerda que une dos puntos de la gráfica de $\ln x$, que es una función cóncava en todo su dominio —su derivada segunda, $-\frac{1}{x^2}$, es siempre negativa—, y una cóncava corta a cada recta en dos puntos a lo sumo.

Los puntos de corte son, por tanto, $(1,0)$ y $(e,1)$.

Por la misma concavidad, entre $1$ y $e$ la curva queda por encima de la cuerda. Se confirma en un punto intermedio, $x=2$:

$\ln2\approx0{,}6931 \qquad \dfrac{2-1}{e-1}\approx0{,}5820$



El área es la integral de la diferencia entre $1$ y $e$:

$A=\displaystyle\int_{1}^{e}\left(\ln x-\dfrac{x-1}{e-1}\right)dx$

La primera integral se hace por partes, con $u=\ln x$ y $dv=dx$:

$\displaystyle\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\dfrac1x\,dx=x\ln x-x$

$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln x\,dx=\left[x\ln x-x\right]_{1}^{e}=(e-e)-(0-1)=1$

La segunda es inmediata:

$\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{x-1}{e-1}\,dx=\dfrac{1}{e-1}\left[\dfrac{(x-1)^2}{2}\right]_{1}^{e}=\dfrac{1}{e-1}\cdot\dfrac{(e-1)^2}{2}=\dfrac{e-1}{2}$

$A=1-\dfrac{e-1}{2}=\dfrac{2-e+1}{2}=\dfrac{3-e}{2}\approx0{,}1409\ \text{u}^2$

Las gráficas se cortan en $(1,0)$ y $(e,1)$, y el recinto que encierran tiene un área de $\dfrac{3-e}{2}\approx0{,}141$ unidades cuadradas.