Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule los siguientes límites:

a) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{\sqrt{x}}$ [1,25 puntos]

b) $\displaystyle\lim_{x \to 1} x^{\frac{2x}{x-1}}$ [1,25 puntos]

$\textbf{a) } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^2}{\sqrt{x}}}$

Los dos factores tienden a infinito, así que la indeterminación es $\frac{\infty}{\infty}$ y aplicamos la regla de L'Hôpital.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{\sqrt x}=\left(\dfrac{\infty}{\infty}\right)\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\ln x\cdot\frac1x}{\frac{1}{2\sqrt x}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4\ln x}{\sqrt x}$

Sigue siendo $\frac{\infty}{\infty}$, de modo que volvemos a aplicarla:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4\ln x}{\sqrt x}=\left(\dfrac{\infty}{\infty}\right)\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\frac4x}{\frac{1}{2\sqrt x}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{8}{\sqrt x}=0$

El límite vale $0$: el logaritmo, aunque esté al cuadrado, es un infinito de orden inferior al de cualquier potencia de $x$.

$\textbf{b) } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to1}x^{\frac{2x}{x-1}}}$

La base tiende a 1 y el exponente a infinito: es una indeterminación del tipo $1^{\infty}$. Usamos la regla habitual

$\displaystyle\lim f(x)^{g(x)}=e^{\lim g(x)\left[f(x)-1\right]}$

$\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{2x}{x-1}\,(x-1)=\lim_{x\to1}2x=2$

El factor $x-1$ se cancela y desaparece la indeterminación. Por tanto,

$\displaystyle\lim_{x\to1}x^{\frac{2x}{x-1}}=e^{2}$

Los límites pedidos valen $0$ y $e^2$.