Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

El punto $P(4,5,0)$ es el punto medio de un lado de un cuadrado. El lado paralelo al anterior está contenido en la recta de ecuación $r \equiv \begin{cases} 2x+2y+z=0 \\ 2x-z-2=0 \end{cases}$. Calcule los dos vértices que determinan este segundo lado. [2,5 puntos]

Escribimos primero la recta en paramétricas. De la segunda ecuación, $z=2x-2$, y llevándolo a la primera, $2x+2y+2x-2=0 \Rightarrow y=1-2x$. Tomando $x=1+\lambda$,

$r\equiv\begin{cases} x=1+\lambda \\ y=-1-2\lambda \\ z=2\lambda \end{cases} \Rightarrow R(1,-1,0),\ \vec v_r=(1,-2,2)$



Como los dos lados son paralelos y $P$ es el punto medio de uno de ellos, la distancia de $P$ a la recta $r$ es exactamente el lado del cuadrado, y el pie $M$ de esa perpendicular es el punto medio del lado opuesto.

i) Calculamos $M$. Un punto genérico de $r$ es $X(1+\lambda,-1-2\lambda,2\lambda)$, y

$\overrightarrow{PX}=(-3+\lambda,\,-6-2\lambda,\,2\lambda)$

Imponemos que sea perpendicular al director:

$\overrightarrow{PX}\cdot\vec v_r=(-3+\lambda)+(-2)(-6-2\lambda)+2(2\lambda)=-3+\lambda+12+4\lambda+4\lambda=9+9\lambda=0 \Rightarrow \lambda=-1$

$\lambda=-1 \Rightarrow M(0,1,-2)$

ii) El lado del cuadrado es la distancia $\overline{PM}$:

$\overrightarrow{PM}=(0,1,-2)-(4,5,0)=(-4,-4,-2) \Rightarrow L=\left|\overrightarrow{PM}\right|=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6$

iii) Los dos vértices están sobre $r$, a medio lado de $M$ en cada sentido. Normalizamos el director:

$\left|\vec v_r\right|=\sqrt{1+4+4}=3 \Rightarrow \vec u=\dfrac{(1,-2,2)}{3}$

$V_{1,2}=M\pm\dfrac{L}{2}\,\vec u=(0,1,-2)\pm3\cdot\dfrac{(1,-2,2)}{3}=(0,1,-2)\pm(1,-2,2)$

$V_1(1,-1,0) \qquad V_2(-1,3,-4)$

Comprobamos que los dos están en $r$ —corresponden a $\lambda=0$ y $\lambda=-2$— y que el segmento que determinan mide lo mismo que el lado:

$\left|\overrightarrow{V_2V_1}\right|=|(2,-4,4)|=\sqrt{4+16+16}=6$

Los dos vértices que determinan el segundo lado son $V_1(1,-1,0)$ y $V_2(-1,3,-4)$.