Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Se consideran el plano $\pi \equiv 2x+y-z-5=0$, la recta $r \equiv \begin{cases} x+2z+3=0 \\ -x-y+z+4=0 \end{cases}$ y los puntos $A(3,2,-1)$ y $B(1,1,-1)$. Sea $C$ la intersección entre la recta y el plano.

a) Demuestre que los puntos $A$, $B$ y $C$ no están alineados. [1,25 puntos]

b) Calcule el área del triángulo que conforman los tres puntos. [1,25 puntos]

Empezamos por hallar $C$. Escribimos la recta en paramétricas: de la primera ecuación, $x=-2z-3$, y sustituyendo en la segunda, $2z+3-y+z+4=0 \Rightarrow y=3z+7$. Con $z=t$,

$r\equiv\begin{cases} x=-3-2t \\ y=7+3t \\ z=t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

Imponemos que ese punto pertenezca al plano:

$2(-3-2t)+(7+3t)-t-5=0 \Rightarrow -6-4t+7+3t-t-5=0 \Rightarrow -2t-4=0 \Rightarrow t=-2$

$t=-2 \Rightarrow C(1,1,-2)$

$\textbf{a) Demuestre que los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{ no están alineados.}$

Tres puntos están alineados si los vectores que los unen son proporcionales, es decir, si su producto vectorial es el vector nulo.

$\overrightarrow{AB}=(1,1,-1)-(3,2,-1)=(-2,-1,0) \qquad \overrightarrow{AC}=(1,1,-2)-(3,2,-1)=(-2,-1,-1)$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -2 & -1 & 0\\ -2 & -1 & -1\end{vmatrix}=(1,-2,0)$

Como el producto vectorial no es nulo, los dos vectores no son proporcionales —se ve también a simple vista: las dos primeras componentes coinciden y las terceras no— y los tres puntos no están alineados.



$\textbf{b) Calcule el área del triángulo que conforman los tres puntos.}$

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial que ya hemos calculado:

$S=\dfrac{\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|}{2}=\dfrac{|(1,-2,0)|}{2}=\dfrac{\sqrt{1+4+0}}{2}=\dfrac{\sqrt5}{2}\approx1{,}118\ \text{u}^2$

El área del triángulo $ABC$ es de $\dfrac{\sqrt5}{2}\approx1{,}118$ unidades cuadradas.