Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

$\begin{cases} x + (a^2+a)z = 0 \\ x + (2a-1)y + (a+1)z = a \\ (2a-1)y + (a+1)z = 0 \end{cases}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & a^2+a \\ 1 & 2a-1 & a+1 \\ 0 & 2a-1 & a+1\end{pmatrix}$

Restamos la tercera fila a la segunda, con lo que esta queda con dos ceros:

$|M|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & a^2+a \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2a-1 & a+1\end{vmatrix}$

y desarrollamos por la segunda fila:

$|M|=-1\cdot\begin{vmatrix} 0 & a^2+a \\ 2a-1 & a+1\end{vmatrix}=-\left[0-(a^2+a)(2a-1)\right]=a(a+1)(2a-1)$

$|M|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=-1 \\ a=\dfrac12 \end{cases}$

Si $a\neq0,\ -1,\ \frac12$, entonces $|M|\neq0$ y $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{nº de incógnitas}$: el sistema es compatible determinado, con solución

$x=a,\qquad y=\dfrac{1}{2a-1},\qquad z=-\dfrac{1}{a+1}$

Si $a=-1$, el sistema queda

$\begin{cases} x=0 \\ x-3y=-1 \\ -3y=0 \end{cases}$

De la primera y la tercera se sigue $x=0$ e $y=0$, lo que llevado a la segunda da $0=-1$: el sistema es incompatible.

Si $a=\dfrac12$, se anula $2a-1$ y desaparece la incógnita $y$:

$\begin{cases} x+\dfrac34 z=0 \\ x+\dfrac32 z=\dfrac12 \\ \dfrac32 z=0 \end{cases}$

De la tercera, $z=0$; de la primera, $x=0$; y la segunda dice entonces $0=\frac12$. También es incompatible.

Si $a=0$, el sistema es

$\begin{cases} x=0 \\ x-y+z=0 \\ -y+z=0 \end{cases}$

La segunda es suma de la primera y la tercera, así que sobra: queda $x=0$ e $y=z$. Como $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$, el sistema es compatible indeterminado y su solución es

$\begin{cases} x=0 \\ y=\lambda \\ z=\lambda \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\neq0,\,-1,\,\frac12$, incompatible para $a=-1$ y para $a=\frac12$, y compatible indeterminado para $a=0$.