Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Calcule los puntos del plano en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

$f(x) = \dfrac{9}{x}$ y $g(x) = 10x-x^3$

Tomando los dos puntos de corte con $x>0$, calcule el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas en el semiplano de abscisa positiva. [2,5 puntos]

Igualamos las dos funciones. Como $f$ no está definida en $x=0$, podemos multiplicar por $x$:

$\dfrac{9}{x}=10x-x^3 \Rightarrow 9=10x^2-x^4 \Rightarrow x^4-10x^2+9=0$

Es una ecuación bicuadrada. Haciendo $u=x^2$,

$u^2-10u+9=0 \Rightarrow u=\dfrac{10\pm\sqrt{100-36}}{2}=\dfrac{10\pm8}{2} \Rightarrow \begin{cases} u=9 \\ u=1 \end{cases}$

$x^2=9 \Rightarrow x=\pm3 \qquad x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$

Las ordenadas se obtienen sustituyendo en $f(x)=\frac9x$:

$(1,9),\qquad (3,3),\qquad (-1,-9),\qquad (-3,-3)$

Los dos cortes de abscisa positiva son $(1,9)$ y $(3,3)$. Para saber qué curva va por encima entre ellos evaluamos en un punto intermedio, $x=2$:

$g(2)=20-8=12 \qquad f(2)=\dfrac92=4{,}5$

luego en todo $(1,3)$ es $g(x)>f(x)$.



El área es la integral de la diferencia:

$A=\displaystyle\int_{1}^{3}\left(10x-x^3-\dfrac9x\right)dx=\left[5x^2-\dfrac{x^4}{4}-9\ln|x|\right]_{1}^{3}$

$A=\left(45-\dfrac{81}{4}-9\ln3\right)-\left(5-\dfrac14-0\right)=40-20-9\ln3$

$A=20-9\ln3\approx20-9{,}8875=10{,}1125\ \text{u}^2$

Las gráficas se cortan en $(-3,-3)$, $(-1,-9)$, $(1,9)$ y $(3,3)$, y el recinto que encierran en el semiplano de abscisa positiva tiene un área de $20-9\ln3\approx10{,}11$ unidades cuadradas.