Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Se considera la función $f(x) = x^2 + e^{x/4}$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[-2,4]$. [1,25 puntos]

b) Compruebe que existen dos valores reales $\alpha$ y $\beta$ en $(-2,4)$ tales que $f(\alpha) = 2 = f(\beta)$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que la función es continua en el intervalo } \boldsymbol{[-2,4]}\textbf{.}$

La función $f(x)=x^2+e^{x/4}$ es la suma de un polinomio y de una exponencial compuesta con una función lineal. Los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$, la exponencial también, y la composición y la suma de funciones continuas son continuas. Por tanto $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[-2,4]$.

$\textbf{b) Compruebe que existen dos valores reales } \boldsymbol{\alpha}\textbf{ y } \boldsymbol{\beta}\textbf{ en } \boldsymbol{(-2,4)}\textbf{ tales que } \boldsymbol{f(\alpha)=2=f(\beta)}\textbf{. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso.}$

El resultado que se aplica es el teorema de Bolzano —o, si se prefiere, el de los valores intermedios—: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ toman valores a uno y otro lado de $k$, existe algún punto interior en el que la función vale $k$.

Calculamos la función en tres puntos del intervalo:

$f(-2)=4+e^{-1/2}\approx4{,}607$

$f(0)=0+e^{0}=1$

$f(4)=16+e\approx18{,}718$

i) En $[-2,0]$ la función es continua y $f(0)=1<2<4{,}607=f(-2)$, luego existe $\alpha\in(-2,0)$ con $f(\alpha)=2$.

ii) En $[0,4]$ la función es continua y $f(0)=1<2<18{,}718=f(4)$, luego existe $\beta\in(0,4)$ con $f(\beta)=2$.

Los dos puntos son distintos, porque $\alpha$ es negativo y $\beta$ positivo, y los dos están en $(-2,4)$. Existen, pues, los dos valores pedidos.