Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · Navarra · 2024

Halle los máximos y mínimos (relativos y absolutos), los puntos de inflexión y las asíntotas de la función $f(x) = e^{-x^2}$. Represente, de manera aproximada, la gráfica de $f$. [2,5 puntos]

La función $f(x)=e^{-x^2}$ es una exponencial compuesta con un polinomio, así que está definida, es continua y es derivable en todo $\mathbb{R}$, y además es siempre positiva. Es par, porque $f(-x)=e^{-(-x)^2}=e^{-x^2}=f(x)$, de modo que su gráfica es simétrica respecto del eje $OY$.

Extremos. Derivamos e igualamos a cero:

$f'(x)=-2x\,e^{-x^2}$

$f'(x)=0 \Rightarrow -2x\,e^{-x^2}=0 \Rightarrow x=0$

pues la exponencial no se anula nunca. Como $e^{-x^2}>0$, el signo de $f'(x)$ es el de $-2x$: positivo si $x<0$ y negativo si $x>0$. La función crece en $(-\infty,0)$ y decrece en $(0,+\infty)$, luego en $x=0$ hay un máximo, y por ser el único es el máximo absoluto:

$f(0)=e^{0}=1 \Rightarrow \text{máximo en } (0,1)$

No hay mínimos relativos. Tampoco hay mínimo absoluto: la función es siempre positiva y se acerca a 0 sin alcanzarlo.

Puntos de inflexión. Derivamos otra vez:

$f''(x)=-2e^{-x^2}+(-2x)(-2x)e^{-x^2}=2\left(2x^2-1\right)e^{-x^2}$

$f''(x)=0 \Rightarrow 2x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$

El factor $2x^2-1$ cambia de signo en los dos valores, así que los dos son puntos de inflexión:

$f\left(\pm\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt e}\approx0{,}6065$

La curva es cóncava hacia abajo en $\left(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)$ y hacia arriba fuera de ese intervalo.

Asíntotas. El dominio es todo $\mathbb{R}$ y la función es continua, así que no hay asíntotas verticales.

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}e^{-x^2}=e^{-\infty}=0$

luego $y=0$ es asíntota horizontal por los dos lados, y al haberla no hay asíntota oblicua.

Con todo lo anterior —simetría par, máximo en $(0,1)$, inflexiones en $x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$ y la asíntota $y=0$— la gráfica es la campana:



La función tiene un máximo absoluto en $(0,1)$, ningún mínimo, puntos de inflexión en $\left(\pm\frac{\sqrt2}{2},\,e^{-1/2}\right)$ y la asíntota horizontal $y=0$.