Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2024

Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

a) $f(x) = \left(\dfrac{1}{x}\right)^{\cos x}$ [1,25 puntos]

b) $g(x) = \dfrac{x^2+4x+1}{(x+2)^2}$ [1,25 puntos]

$\textbf{a) } \boldsymbol{f(x)=\left(\frac{1}{x}\right)^{\cos x}}$

Es una potencia con base y exponente variables, así que derivamos logarítmicamente. La función está definida para $x>0$.

$\ln f(x)=\cos x\cdot\ln\dfrac1x=-\cos x\cdot\ln x$

Derivamos los dos miembros:

$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\sin x\cdot\ln x-\cos x\cdot\dfrac1x$

$f'(x)=\left(\dfrac1x\right)^{\cos x}\left(\sin x\cdot\ln x-\dfrac{\cos x}{x}\right)$

$\textbf{b) } \boldsymbol{g(x)=\frac{x^2+4x+1}{(x+2)^2}}$

Aplicamos la regla del cociente:

$g'(x)=\dfrac{(2x+4)(x+2)^2-\left(x^2+4x+1\right)\cdot2(x+2)}{(x+2)^4}$

Sacamos $(x+2)$ como factor común del numerador y simplificamos:

$g'(x)=\dfrac{(2x+4)(x+2)-2\left(x^2+4x+1\right)}{(x+2)^3}=\dfrac{2x^2+8x+8-2x^2-8x-2}{(x+2)^3}$

$g'(x)=\dfrac{6}{(x+2)^3}$

Las derivadas pedidas son $f'(x)=\left(\frac1x\right)^{\cos x}\left(\sin x\ln x-\frac{\cos x}{x}\right)$ y $g'(x)=\dfrac{6}{(x+2)^3}$.