Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Los puntos $A(4,-2,-3)$, $B(2,-1,1)$ y $C(0,-3,-1)$ son vértices de un rombo.

a) Encuentre el cuarto vértice del rombo. [1,75 puntos]

b) Calcule el área del rombo. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Encuentre el cuarto vértice del rombo.}$

Lo primero es averiguar cuáles de los tres puntos dados son consecutivos, porque en un rombo los cuatro lados miden lo mismo. Calculamos las tres distancias:

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=|(-2,1,4)|=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21}$

$\left|\overrightarrow{AC}\right|=|(-4,-1,2)|=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}$

$\left|\overrightarrow{BC}\right|=|(-2,-2,-2)|=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt3$

Los dos segmentos que salen de $A$ miden lo mismo, así que $A$ es el vértice común a dos lados y $\overline{BC}$ es una diagonal: el rombo es $BACD$, con $D$ opuesto a $A$.



En un rombo, como en cualquier paralelogramo, los lados opuestos son equipolentes:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \Rightarrow D=C+\overrightarrow{AB}=(0,-3,-1)+(-2,1,4)=(-2,-2,3)$

Comprobamos que los cuatro lados son iguales:

$\left|\overrightarrow{BD}\right|=|(-4,-1,2)|=\sqrt{21} \qquad \left|\overrightarrow{CD}\right|=|(-2,1,4)|=\sqrt{21}$

El cuarto vértice es $D(-2,-2,3)$.

$\textbf{b) Calcule el área del rombo.}$

El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial de dos lados concurrentes. Tomamos los que salen de $A$:

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -2 & 1 & 4\\ -4 & -1 & 2\end{vmatrix}=(2+4)\vec i-(-4+16)\vec j+(2+4)\vec k=(6,-12,6)$

$S=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{36+144+36}=\sqrt{216}=6\sqrt6\approx14{,}70\ \text{u}^2$

Se llega al mismo resultado por la fórmula propia del rombo, la mitad del producto de las diagonales, que son $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$:

$\overrightarrow{AD}=(-6,0,6),\ \left|\overrightarrow{AD}\right|=6\sqrt2 \qquad \left|\overrightarrow{BC}\right|=2\sqrt3 \qquad \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=12+0-12=0$

$S=\dfrac{6\sqrt2\cdot2\sqrt3}{2}=6\sqrt6\ \text{u}^2$

—el producto escalar nulo confirma, además, que las diagonales son perpendiculares, como corresponde a un rombo—.

El área del rombo es de $6\sqrt6\approx14{,}70$ unidades cuadradas.