Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $m$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

$\begin{cases} (2-a)x - ay + 2z = -4 \\ (a-2)x + (a+1)y = 5 \\ y + (a^2-a)z = 3-a \end{cases}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El parámetro que aparece en las tres ecuaciones es $a$, y sobre él hacemos la discusión. El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\begin{pmatrix} 2-a & -a & 2 \\ a-2 & a+1 & 0 \\ 0 & 1 & a^2-a\end{pmatrix} \qquad M'=\begin{pmatrix} 2-a & -a & 2 & -4 \\ a-2 & a+1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & a^2-a & 3-a\end{pmatrix}$

Sumamos la primera fila a la segunda, que no altera el determinante y hace desaparecer la primera columna de esta:

$|M|=\begin{vmatrix} 2-a & -a & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & a^2-a\end{vmatrix}=(2-a)\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & a^2-a\end{vmatrix}=(2-a)\left(a^2-a-2\right)$

$|M|=(2-a)(a-2)(a+1)=-(a-2)^2(a+1)$

$|M|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ a=-1 \end{cases}$

Si $a\neq2$ y $a\neq-1$, entonces $|M|\neq0$ y $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{nº de incógnitas}$: el sistema es compatible determinado. Resolviéndolo se obtiene

$x=-1,\qquad y=\dfrac{a+3}{a+1},\qquad z=-\dfrac{1}{a+1}$

Si $a=-1$, el sistema queda

$\begin{cases} 3x+y+2z=-4 \\ -3x=5 \\ y+2z=4 \end{cases}$

De la segunda ecuación, $x=-\dfrac53$, y llevándolo a la primera,

$3\left(-\dfrac53\right)+y+2z=-4 \Rightarrow -5+y+2z=-4 \Rightarrow y+2z=1$

en contradicción con la tercera, que dice $y+2z=4$. El sistema es incompatible, es decir, $\operatorname{ran}(M)=2\neq3=\operatorname{ran}(M')$.

Si $a=2$, desaparece la incógnita $x$ y el sistema se reduce a

$\begin{cases} -2y+2z=-4 \\ 3y=5 \\ y+2z=1 \end{cases}$

De la segunda, $y=\dfrac53$; de la tercera, $2z=1-\dfrac53=-\dfrac23 \Rightarrow z=-\dfrac13$, valores que también cumplen la primera. Como $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$, el sistema es compatible indeterminado y su solución es

$\begin{cases} x=\lambda \\ y=\dfrac53 \\ z=-\dfrac13 \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\neq2,\,-1$, incompatible para $a=-1$ y compatible indeterminado con un grado de libertad para $a=2$.