Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Calcule los tres puntos de corte entre $f(x) = \sin(\pi x)$ y $g(x) = x^3-x$. Calcule el área encerrada entre ambas curvas. [2,5 puntos]

Igualamos las dos funciones para obtener los puntos de corte:

$\sin(\pi x)=x^3-x \Rightarrow \sin(\pi x)=x(x-1)(x+1)$

El segundo miembro se anula en $x=-1$, $x=0$ y $x=1$, y en esos mismos valores $\pi x$ es un múltiplo entero de $\pi$, de modo que el seno también se anula. Los tres son, pues, soluciones:

$\sin(-\pi)=0=(-1)^3-(-1) \qquad \sin(0)=0=0 \qquad \sin(\pi)=0=1-1$

No hay más: fuera de $[-1,1]$ el polinomio $x^3-x$ es mayor que 1 en valor absoluto —para $|x|>1{,}325$ con seguridad, y entre 1 y ese valor se comprueba que las dos curvas no vuelven a encontrarse—, mientras que el seno nunca pasa de 1. Los puntos de corte son

$(-1,0),\qquad (0,0),\qquad (1,0)$

Para el área estudiamos qué función va por encima en cada tramo. En $(0,1)$ tomamos $x=\frac12$:

$\sin\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 \qquad \left(\tfrac12\right)^3-\tfrac12=-\tfrac38$

luego ahí $f(x)>g(x)$. Las dos funciones son impares, así que en $(-1,0)$ ocurre lo contrario y las dos hojas del recinto son simétricas respecto del origen y tienen la misma área.



Basta calcular la mitad derecha y duplicarla:

$A=2\displaystyle\int_{0}^{1}\left[\sin(\pi x)-\left(x^3-x\right)\right]dx$

$\displaystyle\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\,dx=\left[-\dfrac{\cos(\pi x)}{\pi}\right]_{0}^{1}=-\dfrac{-1}{\pi}+\dfrac{1}{\pi}=\dfrac{2}{\pi}$

$\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x-x^3\right)dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}=\dfrac12-\dfrac14=\dfrac14$

$A=2\left(\dfrac{2}{\pi}+\dfrac14\right)=\dfrac{4}{\pi}+\dfrac12=\dfrac{\pi+8}{2\pi}\approx1{,}7732\ \text{u}^2$

Las dos curvas se cortan en $(-1,0)$, $(0,0)$ y $(1,0)$, y encierran entre ellas un área de $\dfrac{4}{\pi}+\dfrac12\approx1{,}7732$ unidades cuadradas.